Bài toán[Rumani2001]:
Tìm số số nguyên dương $n$ để phương trình sau có nghiệm nguyên dương:
$$x^3+y^3+z^3=n.x^2y^2z^2$$
#1
Đã gửi 06-11-2012 - 21:43
WhjteShadow
-
- Phó Quản lý Toán Ứng dụ
-
- 1323 Bài viết
Thượng úy
- BlackSelena, Secrets In Inequalities VP, BoBoiBoy và 1 người khác yêu thích
“There is no way home, home is the way.” - Thich Nhat Hanh
#2
Đã gửi 06-11-2012 - 22:53
nguyenta98
-
- Hiệp sỹ
-
- 1259 Bài viết
Thượng úy
Bài này xưa rồi anhBài toán[Rumani2001]:
Tìm số số nguyên dương $n$ để phương trình sau có nghiệm nguyên dương:
$$x^3+y^3+z^3=n.x^2y^2z^2$$
Giải như sau:
Ta có WLOG $x\geq y\geq z$ khi đó $y^3+z^3 \vdots x^2 \Rightarrow y^3+z^3 \geq x^2$ $(1)$
Mặt khác $3x^3\geq x^3+y^3+z^3=nx^2y^2z^2 \Rightarrow 3x\geq ny^2z^2 \Rightarrow 9x^2\geq n^2y^4z^4$ $(2)$
Từ $(1)(2)$ suy ra $9(y^3+z^3)\geq n^2y^4z^4 \Rightarrow 18y^3\geq 9(y^3+z^3)\geq n^2y^4z^4 \Rightarrow 18\geq n^2yz^4$
Từ đó $n^2yz^4\le 18$ đến đây mọi chuyện dễ dàng do $x,y,z,n$ nguyên dương
- perfectstrong, BlackSelena, Nguyen Minh Hiep và 3 người khác yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
