Nếu phương trình $x^{4}+ax^{3}+2x^{2}+bx+1=0$ có ít nhất một nghiệm thực thì $a^{2}+b^{2}\geq 8$
Nếu phương trình $x^{4}+ax^{3}+2x^{2}+bx+1=0$ có ít nhất một nghiệm thực thì $a^{2}+b^{2}\geq 8$
Bắt đầu bởi vanhieu9779, 10-11-2012 - 21:05
#2
Đã gửi 10-11-2012 - 21:56
ilovelife
-
- Thành viên
-
- 371 Bài viết
Sĩ quan
Chia 2 vế cho x^2 (x = 0 không là nghiệm).
$$x^{2}+ax+\frac{1}{x^{2}}+\frac{b}{x}+2=0(1)$$
$$\Delta_x =a^{2}-4(\frac{1}{x^{2}}+\frac{b}{x}+2)\geq 0$$
$$\Leftrightarrow a^{2}-8-4((\frac{1}{x}+\frac{b}{2})^{2}-\frac{b^{2}}{4})\geq 0$$
$$\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}-8\geq 4(\frac{1}{x}+\frac{b}{2})^{2}\geq 0\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}\geq 8$$
$$x^{2}+ax+\frac{1}{x^{2}}+\frac{b}{x}+2=0(1)$$
$$\Delta_x =a^{2}-4(\frac{1}{x^{2}}+\frac{b}{x}+2)\geq 0$$
$$\Leftrightarrow a^{2}-8-4((\frac{1}{x}+\frac{b}{2})^{2}-\frac{b^{2}}{4})\geq 0$$
$$\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}-8\geq 4(\frac{1}{x}+\frac{b}{2})^{2}\geq 0\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}\geq 8$$
- N H Tu prince, thinhrost1, etucgnaohtn và 1 người khác yêu thích
God made the integers, all else is the work of man.
People should not be afraid of their goverment, goverment should be afraid of their people.
#3
Đã gửi 10-11-2012 - 22:20
N H Tu prince
-
- Thành viên
-
- 388 Bài viết
Sĩ quan
Cách khác:Nếu phương trình $x^{4}+ax^{3}+2x^{2}+bx+1=0$ có ít nhất một nghiệm thực thì $a^{2}+b^{2}\geq 8$
chia hai vế cho $x^2$ và biến đổi,ta được:
$(x+\frac{a}{2})^2+(\frac{1}{x}+\frac{b}{2})^2=\frac{a^2+b^2}{4}-2$
$VT\geq 0=>\frac{a^2+b^2}{4}-2\geq 0=>a^2+b^2\geq 8$
- etucgnaohtn yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
