Chủ đề này có 4 trả lời

[dark templar]

Bài toán: Cho $a,b,c$ là các số thực bất kỳ.Tìm tất cả giá trị của hằng số $k$ sao cho BĐT sau đúng với mọi $a,b,c$ mà làm cho BĐT xác định:
$$\frac{1}{(3a-b)^2}+\frac{1}{(3b-c)^2}+\frac{1}{(3c-a)^2} \ge \frac{k}{a^2+b^2+c^2}$$

[WhjteShadow]

Bài toán: Cho $a,b,c$ là các số thực bất kỳ.Tìm tất cả giá trị của hằng số $k$ sao cho BĐT sau đúng với mọi $a,b,c$ mà làm cho BĐT xác định:
$$\frac{1}{(3a-b)^2}+\frac{1}{(3b-c)^2}+\frac{1}{(3c-a)^2} \ge \frac{k}{a^2+b^2+c^2}$$

Em nghĩ bài này quá lẻ và to nên em chỉ nêu hướng đi của e thử ch0 anh xem,nếu đúng thì tiếp tục làm,nếu sai thì .... =,=''
Đặt $3a-b=x,3b-c=y,3c-a=z$ với $x,y,z\neq 0$ lúc đó ta có:
$$3(x+y+z)^2+4(x^2+y^2+z^2)=52(a^2+b^2+c^2)$$
Vậy ta cần chứng minh:
$$\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}-\frac{52k}{3(x+y+z)^2+4(x^2+y^2+z^2)}\geq 0$$
Do tính đối xứng của $x,y,z$ ta có thể giả sử $x,y> 0> z$.Đổi dấu của $z\to -z$ thì $x,y,z> 0$ và cần chứng minh:
$$f_{(x;y;z)}=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}-\frac{52k}{3(x+y-z)^2+4(x^2+y^2+z^2)}\geq 0$$
$\bullet$ Nếu $z\geq x+y$ thì ta có thể chứng minh $f_{(x;y;z)}\geq f_{(x;y;x+y)}$ và sử dụng AM-GM để đến được giá trị của $k$
$\bullet$ Nếu $z\leq x+y$ khi đó ta có thể chứng minh $f_{(x;y;z)}\geq f_{(\frac{x+y}{2};\frac{x+y}{2};z)}$
Sau đó chỉ cần đặt $t=\frac{x+y}{2}$ và chuẩn hóa $z=1\Rightarrow t\geq \frac{1}{2}$ và khảo sát hàm 1 biến $t$ là được

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 11-11-2012 - 22:17

[dark templar]

Em nghĩ bài này quá lẻ và to nên em chỉ nêu hướng đi của e thử ch0 anh xem,nếu đúng thì tiếp tục làm,nếu sai thì .... =,=''
Đặt $3a-b=x,3b-c=y,3c-a=z$ với $x,y,z\neq 0$ lúc đó ta có:
$$3(x+y+z)^2+4(x^2+y^2+z^2)=52(a^2+b^2+c^2)$$
Vậy ta cần chứng minh:
$$\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}-\frac{52k}{3(x+y+z)^2+4(x^2+y^2+z^2)}\geq 0$$
Do tính đối xứng của $x,y,z$ ta có thể giả sử $x,y> 0> z$.Đổi dấu của $z\to -z$ thì $x,y,z> 0$ và cần chứng minh:
$$f_{(x;y;z)}=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}-\frac{52k}{3(x+y-z)^2+4(x^2+y^2+z^2)}\geq 0$$
$\bullet$ Nếu $z\geq x+y$ thì ta có thể chứng minh $f_{(x;y;z)}\geq f_{(x;y;x+y)}$ và sử dụng AM-GM để đến được giá trị của $k$
$\bullet$ Nếu $z\leq x+y$ khi đó ta có thể chứng minh $f_{(x;y;z)}\geq f_{(\frac{x+y}{2};\frac{x+y}{2};z)}$
Sau đó chỉ cần đặt $t=\frac{x+y}{2}$ và chuẩn hóa $z=1\Rightarrow t\geq \frac{1}{2}$ và khảo sát hàm 1 biến $t$ là được

Cách làm này cũng "tạm chấp nhận được" Tuy nhiên sẽ không có khả năng giải bài tổng quát.Tại sao em không đưa về biến $t=\frac{x+y}{z}$ cho gọn nhẹ

[WhjteShadow]

Ơ em nghĩ 2 cái là 1 chứ a.Chuẩn hóa cũng dựa trên ý tưởng đặt $\frac{x+y}{2z}=t$ mà a

Cách làm này cũng "tạm chấp nhận được" Tuy nhiên sẽ không có khả năng giải bài tổng quát.Tại sao em không đưa về biến $t=\frac{x+y}{z}$ cho gọn nhẹ

Ơ em nghĩ 2 cái là 1 chứ a.Chuẩn hóa cũng dựa trên ý tưởng đặt $\frac{x+y}{2z}=t$ mà a

[dark templar]

Nói chung là bài này số ra lẻ lắm nên anh không quan trọng kết quả mà chủ yếu là hướng làm thôi.Em ráng trình bày bài giải hoàn chỉnh nhé