Chủ đề này có 2 trả lời

[lehoanghiep]

Tìm tất cả các cặp cặp số tự nhiên $\left ( x;y \right )$ thỏa mãn điều kiện $y^{x}-1=\left ( y-1 \right )!$ trong đó $y$ là một số nguyên tố.

[nguyenta98]

Tìm tất cả các cặp cặp số tự nhiên $\left ( x;y \right )$ thỏa mãn điều kiện $y^{x}-1=\left ( y-1 \right )!$ trong đó $y$ là một số nguyên tố.

Giải như sau:
$(y-1)(y^{x-1}+y^{x-2}+...+y+1)=(y-1)! \Rightarrow y^{x-1}+y^{x-2}+...+y+1=(y-2)!$
Nếu $y=2$ thì $2^{x-1}+...+2+1=0!=1 \Rightarrow x=1$
Nếu $y=3$ thì $3^{x-1}+...+3+1=1!=1 \Rightarrow x=1$
Nếu $y=5$ thì $x=2$
Nếu $y> 5$ ta có $y-1$ là hợp số do $y$ nguyên tố như vậy đặt $y-1=pq$ với $1<p\le q$ mà $p,q>1$ nên $p,q\le \dfrac{y-1}{2}<y-2$ với $y\geq 5$ và khi ấy $(y-2)! \vdots pq \Rightarrow (y-2)! \vdots (y-1)$
Do đó $y^{x-1}+...+y+1 \vdots (y-1)$ mà $y \equiv 1 \pmod{y-1}$ nên $y^{x-1}+...+y+1 \equiv x \pmod{y-1}$ do đó $x \vdots y-1$ nên $x\geq y-1$
Như vậy $y^x-1\geq y^{y-1}-1$ suy ra $(y-1)!\geq y^{y-1}$
Thấy với $y=5$ thì bdt trên thỏa mãn, với $y>5$ bằng quy nạp ta cm được $(y-1)!<y^{y-1}$ do đó mâu thuẫn
Vậy $\boxed{(x,y)=(1,2),(1,3),(2,5)}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 19-11-2012 - 21:09

[lehoanghiep]

Giải như sau:
$(y-1)(y^{x-1}+y^{x-2}+...+y+1)=(y-1)! \Rightarrow y^{x-1}+y^{x-2}+...+y+1=(y-2)!$
Nếu $y=2$ thì $2^{x-1}+...+2+1=0!=1 \Rightarrow x=1$
Nếu $y=3$ thì $3^{x-1}+...+3+1=1!=1 \Rightarrow x=1$
Nếu $y\geq 5$ ta có $y-1$ là hợp số do $y$ nguyên tố như vậy đặt $y-1=pq$ với $1<p\le q$ mà $p,q>1$ nên $p,q\le \dfrac{y-1}{2}<y-2$ với $y\geq 5$ và khi ấy $(y-2)! \vdots pq \Rightarrow (y-2)! \vdots (y-1)$
Do đó $y^{x-1}+...+y+1 \vdots (y-1)$ mà $y \equiv 1 \pmod{y-1}$ nên $y^{x-1}+...+y+1 \equiv x \pmod{y-1}$ do đó $x \vdots y-1$ nên $x\geq y-1$
Như vậy $y^x-1\geq y^{y-1}-1$ suy ra $(y-1)!\geq y^{y-1}$
Thấy với $y=5$ thì bdt trên thỏa mãn, với $y>5$ bằng quy nạp ta cm được $(y-1)!<y^{y-1}$ do đó mâu thuẫn
Vậy $\boxed{(x,y)=(1,2),(1,3),(4,5)}$

$\boxed{(x,y)=(1,2),(1,3),(2,5)}$