Chủ đề này có 3 trả lời

[thanhdotk14]

Cho $a,b,c$ là $3$ cạnh tam giác .$m_{a},m_{b},m_{c}$ là các đường trung tuyến của tam giác. Chứng minh rằng :

$$\frac{m_{a}.m_{b}}{a.b}+\frac{m_{b}.m_{c}}{b.c}+\frac{m_{c}.m_{a}}{c.a}\geq \frac{9}{4}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhdotk14: 19-11-2012 - 22:37

[yeutoan11]

Cho $a,b,c$ là $3$ cạnh tam giác .$m_{a},m_{b},m_{c}$ là các đường trung tuyến của tam giác. Chứng minh rằng :
$$\frac{m_{a}.m_{b}}{a.b}+\frac{m_{b}.m_{c}}{b.c}+\frac{m_{c}.m_{a}}{c.a}\geq \frac{9}{4}$$

Chào mừng Đô
Sử dụng lại hệ thức (của thầy Tâm): \[(x+y+z)(xMA^2+yMB^2+zMC^2)\geq yza^2+zxb^2+xyc^2\]
Gọi $G$ là trọng tâm tam giác
Đặt : $x=\frac{a}{m_a};y=\frac{b}{m_b};z=\frac{c}{m_c}$
Áp dụng với $G$
\[(x+y+z)(xGA^2+yGB^2+zGC^2)\geq yza^2+zxb^2+xyc^2\]
Để ý : $GA^2 = \frac{4}{9}m_a^2$
Là ta có ĐPCM

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 20-11-2012 - 06:14

[thanhdotk14]

Tổng quát ta có bài toán sau :
Cho $M$ là điểm nằm trong tam giác ABC và các số $\alpha ,\beta ,\gamma$ , ta có bất đẳng thức sau :

$\alpha .MA^2 + \beta .MB^2 + \gamma .MC^2 \geq \frac{\alpha .\beta .c^2 + \beta .\gamma .a^2 + \gamma .\alpha .b^2}{\alpha + \beta + \gamma }$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhdotk14: 30-01-2013 - 15:39

[thanhdotk14]

Tổng quát ta có bài toán sau :
Cho M là điểm nằm trong tam giác ABC và các số $\alpha ,\beta ,\gamma$ , ta có bất đẳng thức sau :

$\alpha .MA^2 + \beta .MB^2 + \gamma .MC^2 \geq \frac{\alpha .\beta .c^2 + \beta .\gamma .a^2 + \gamma .\alpha .b^2}{\alpha + \beta + \gamma }$

Để giải bài toán trên ta chỉ cần khai triển bất đẳng thức luôn đúng sau :
$\left ( \alpha .\overrightarrow{MA} + \beta .\overrightarrow{MB}+\gamma .\overrightarrow{MC} \right )\geq O$