Chủ đề này có 6 trả lời

[Sagittarius912]

• Cho $x,y,z$ dương thỏa mãn : $xyz\geq 1$
• CMR:
• $\sum \frac{x^{5}-x^{2}}{x^{5}+y^{2}+z^{2}}\geq 0$

Chú ý : Gõ bằng tiếng việt có dấu bạn nhé - MĐK

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mai Duc Khai: 23-11-2012 - 23:10

[Joker9999]

• cho x,y,z duong thoa man $xyz\geq 1$
• CMR:
• $\sum \frac{x^{5}-x^{2}}{x^{5}+y^{2}+z^{2}}\geq 0$

Khá quen thuộc rồi
Giải như sau:
BDT tương đương với$\sum \frac{1}{x^5+y^2+z^2}\leq \frac{3}{x^2+y^2+z^2}$
Áp dụng BDT Cauchy-Schwarz thì:
$\sum \frac{\frac{1}{x}+y^2+z^2}{(x^5+y^2+z^2)(\frac{1}{x}+y^2+z^2)}\leq \sum \frac{y^2+z^2+yz}{(x^2+y^2+z^2)^2}$
Do đó ta chỉ cần chứng minh:
$2(x^2+y^2+z^2)+(xy+xz+yz)\leq 3(x^2+y^2+z^2)$
Dễ thấy
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1.
Chứng minh hoàn tất.

[Sagittarius912]

• Cho $x,y,z$ dương thỏa mãn : $xyz\geq 1$
• CMR:
• $\sum \frac{x^{5}-x^{2}}{x^{5}+y^{2}+z^{2}}\geq 0$

Khá quen thuộc rồi
Giải như sau:
BDT tương đương với$\sum \frac{1}{x^5+y^2+z^2}\leq \frac{3}{x^2+y^2+z^2}$
Áp dụng BDT Cauchy-Schwarz thì:
$\sum \frac{\frac{1}{x}+y^2+z^2}{(x^5+y^2+z^2)(\frac{1}{x}+y^2+z^2)}\leq \sum \frac{y^2+z^2+yz}{(x^2+y^2+z^2)^2}$
Do đó ta chỉ cần chứng minh:
$2(x^2+y^2+z^2)+(xy+xz+yz)\leq 3(x^2+y^2+z^2)$
Dễ thấy
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1.
Chứng minh hoàn tất.

Đây là cách giải của mình:
ta có:

từ $xyz\geq 1\Rightarrow$

$\frac{x^{5}-x^{2}}{x^{5}+y^{2}+z^{2}}\geq \frac{x ^{5}-x^{2}}{x^{5}+xyz(y^{2}+z^{2})}$ (*)

Mà

$[4,0]\succ [3,1]$ nên theo bdt Muirhead ta có:

$y^{4}+z^{4}\geq yz(y^{2}+z^{2})$

$\Rightarrow \sum \frac{x^{5}-x^{2}}{x^{5}+y^{2}+z^{2}}\geq \sum \frac{x^{4}-x}{x^{4}+y^{4}+z^{4}}= 1-\frac{x+y+z}{x^{4}+y^{4}+z^{4}}$ (**)

Mặt khác theo bdt Holder ta có:

$(x^{4}+y^{4}+z^{4})(1+1+1)(1+1+1)(1+1+1)\geq (x+y+z)^{4}\Rightarrow 1-\frac{x+y+z}{x^{4}+y^{4}+z^{4}}\geq 1-\frac{27}{(x+y+z)^{3}}\geq 1-\frac{27}{27xyz}\geq 1-\frac{27}{27.1}= 0$

(***)

từ (*)(**)(***) ta có đpcm. dấu "=" khi $x=y=z=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doandat97: 24-11-2012 - 09:20

[Nguyenhuyen_AG]

Đây là cách giải của mìnhg. T

ừ $xyz\geq 1\Rightarrow,$ ta có $

$\frac{x^{5}-x^{2}}{x^{5}+y^{2}+z^{2}}\geq \frac{x ^{5}-x^{2}}{x^{5}+xyz(y^{2}+z^{2})}$$

Bạn có thể làm rõ đoạn này hơn được không ?

[minhtuyb]

Bạn có thể làm rõ đoạn này hơn được không ?

Ta không thể xác định dấu của BĐT đó vì ta chưa xác định được dấu của $x^5-x^2$.
Bài này là MSS của năm ngoái, cũng không nhớ rõ là trận nào

[Joker9999]

Bạn có thể làm rõ đoạn này hơn được không ?

Bạn ấy làm sai rồi, không thể khẳng định như vậy được.
Ngoài cách mà mình đã nêu còn 1 phương pháp SOS nữa, trong Sáng tạo BDT có ghi nhưng hơi dài.

[Sagittarius912]

Sr, mình nhầm nặng:
Cách khác: sử dụng bdt Muirhead:
Quy đồng bdt, khử mẫu, bdt cần chứng minh tương đương
$[(9,0,0)]+4[(7,5,0)]+[(5,2,2)]+[(5,5,5)]\geq [(6,0,0)]+[(5,5,2)]$
Vì $xyz=1$ nên $[(9,0,0)]\geq [(7,1,1)]\geq [(6,0,0)]+[(2,2,2)]+2[(5,4,0)]+2[(4,2,0)]$
$[(7,5,0)]\geq [(5,2,2)]$
$2[(7,5,0)]\geq 2[(6,5,1)]\geq 2[(5,4,0)]$
$[(7,5,0)]+[(5,2,2)]\geq 2[(6,\frac{7}{2},1)]\geq 2[(\frac{11}{2},\frac{4}{2},\frac{3}{2})]\geq 2[(4,2,0)]$
$[(5,5,5)]\geq [(2,2,2)]$
Cộng vế theo vế ta có đpcm. dấu "=" khi $x=y=z=1$