Chủ đề này có 4 trả lời

[thanhdotk14]

Cho các số dương $x,y,z,t$ thỏa mãn: $x+y+z+t=2012$
Tìm GTNN của biểu thức:

$\frac{x^5 + y^5 + z^5 + t^5}{x^4 + y^4 + z^4 + t^4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 22-11-2012 - 19:47

[NLT]

Cho các số dương $x,y,z,t$ thỏa mãn: $x+y+z+t=2012$
Tìm GTNN của biểu thức:

$A= \frac{x^5 + y^5 + z^5 +t^5}{x^4 + y^4 + z^4 + t^4}$

Bài này giải hoàn toàn đơn giản, tổng quát như sau:

Cho $\sum\limits_{i = 1}^n {x_i } = k$
Tìm giá trị nhỏ nhất của: \[A = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^k {x_i ^m } }}{{\sum\limits_{i = 1}^k {x_i ^n } }}\]
(Trong đó $k,m,n$ là các số cho trước, $k > 0$, $m,n \in \mathbb{N}^{*}; m \ge n$)

___
NLT

[Sagittarius912]

Cho các số dương $x,y,z,t$ thỏa mãn :

$x + y + z + t=2012$

Tìm GTNN của biểu thức:

$\frac{x^5 + y^5 + z^5 + t^5}{x^4 + y^4 + z^4 + t^4}$

Cách 1 :
Sử dụng liên tiếp BĐT CS ta có :

$\sum x^{5}.\sum x^{3}\geq (\sum x^{4})^{2}$
$\sum x^{4}.\sum x^{2}\geq (\sum x^{3})^{2}$
$\sum x^{3}.\sum x\geq (\sum x^{2})^{2}$
$\sum x^{2}.(1+1+1+1)\geq (\sum x)^{2}$
Kết hợp các BĐT trên lại với nhau ta có :
$\frac{\sum x^{5}}{\sum x^{4}}\geq 503$
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=t=503$

Cách 2 :
Sử dụng bdt Chebyshez cho 2 bộ số đơn điệu cùng chiều $(x_{i})$ và $(x_{i}^{4})$ ta có :


$\sum x^{5}\geq (\sum x^{4})\frac{x+y+z+t}{4}= 503\sum x^{4}\Rightarrow \frac{\sum x^{5}}{\sum x^{4}}\geq 503$

Vậy $min=503$ khi .....

Buoc Ngoat : Đề nghị bạn gõ bằng tiếng việt có dấu và viết hoa chữ đầu dòng

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doandat97: 22-11-2012 - 20:07

[tramyvodoi]

Mình xin trình bày bài toán này:

Áp dụng bất đẳng thức $Chebyshev$ ta được: $$4(x^{5}+y^{5}+z^{5}+t^{5})\geq (x+y+z+t)(x^{4}+y^{4}+z^{4}+t^{4})$$
Kết hợp với giả thiết $x+y+z+t=2012$ ta dễ dàng suy min của phân thức!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 30-11-2012 - 15:34

[Nesbit]

Các bạn hãy vào đây thảo luận nhé: http://diendantoanho...b4c4d4a3b3c3d3/