Chủ đề này có 1 trả lời

[dactai10a1]

Đường tròn nội tiếp (I) tam giác ABC tiếp xúc BC,AC,AB tại D,E,F.AD cắt (I) tại M,đường tròn (CMD) cắt DF tại N.CN cắt AB tại G.CHứng minh CD=3FG

[BoBoiBoy]

Đường tròn nội tiếp (I) tam giác ABC tiếp xúc BC,AC,AB tại D,E,F.AD cắt (I) tại M,đường tròn (CMD) cắt DF tại N.CN cắt AB tại G.CHứng minh CD=3FG

Trong bài toán này ta sẽ sử dụng các công thức sau:
$\bullet S_{ABC}=\frac{1}{2}.sinA.AB.AC {\color{Green} (1) } ;\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R {\color{Green} (2)}$
Gọi $H$ là giao của $EF$ và $CN$.Theo giả thiết ta có các tứ giác $MEDF:MNDC$ nội tiếp
$\Rightarrow \widehat{MEH}=\widehat{MCH}\Rightarrow \lozenge MECH$ nội tiếp.
Ta có:
$$\widehat{HMC}=\widehat{HEC}=\widehat{EMF}$$
$$\widehat{HMN}=\widehat{HMC}-\widehat{NMC}=\widehat{HEC}-\widehat{BDF}=\widehat{HEC}-\widehat{DFE}=\widehat{DEC}=\widehat{EMD}$$
$$\widehat{MNC}=\widehat{MDC}=\widehat{MFD}$$
$$\widehat{MCN}=\widehat{MDF}$$
Do đó:
$$\frac{HN}{HC}=\frac{S_{MHN}}{S_{MHC}}=\frac{MN.sin\widehat{HMN}}{MC.sin\widehat{HMC}}$$(áp dụng (1))
$$=\frac{sin\widehat{MCN}}{sin\widehat{MNC}}.\frac{sin\widehat{HMN}}{sin\widehat{HMC}}=\frac{sin\widehat{MDF}}{sin\widehat{MFD}}.\frac{sin\widehat{EMD}}{sin\widehat{EMF}}=\frac{MF}{MD}.\frac{ED}{EF}$$
(áp dụng liên tiếp (2))
Mà ta kết quả quen thuộc:$\frac{MF}{MD}.\frac{ED}{EF}=\frac{1}{2}$ nên $\frac{HN}{HC}=\frac{1}{2}$.
Áp dụng định lý Menelaus vào các tam giác $BCG:ACG$ ;để ý $AE=AF;CD=CE;BD=BF$ ta có:
$$\frac{FG}{CD}=\frac{GN}{NC}=\frac{HG}{HC}=\frac{GN+GH}{NC+HC}=\frac{HN}{NC+HC}=\frac{1}{3}$$
Vậy $CD=3FG$.