Chủ đề này có 2 trả lời

[mrduc14198]

Giúp mình 2 bài sau với !
1)
Cho $a+b+c=2010 và \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2010}$ .
CMR một trong 3 số a,b,c phải có 1 số = 2010
2)Cho p là tích n số nguyên tố đầu tiên . CMR P+1 không thể là số chính phương

[Math Is Love]

Giúp mình 2 bài sau với !
1)
Cho $a+b+c=2010 và \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2010}$ .
CMR một trong 3 số a,b,c phải có 1 số = 2010
2)Cho p là tích n số nguyên tố đầu tiên . CMR P+1 không thể là số chính phương

Bài 2 khá đơn giản:
Vì $p=2.3.5.7....p_ip_j$ nên $2;3;...;n \not| p+1$ $(1)$
do mọi số nguyên trong tập $\left \{ 1;2;...;n \right \}$ đều có ước nguyên tố trong tập $\left \{ 2;3;5;7;...;p_i;p_j \right \}$
Giả sử $p+1=k^2$
$\Rightarrow k<n\Rightarrow k\in \left \{ 1;2;...;n \right \}$
Mà $k|p+1$ $(2)$
$(1)(2)$ mâu thuẫn,vậy điều giả sử là sai nên $p+1$ không thể là số chính phương!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doxuantung97: 28-11-2012 - 13:25

[m4ingoc]

Bài 2 khá đơn giản:
Vì $p=1.2.3....n$ nên $2;3;...;n \not| p+1$ $(1)$
Giả sử $p+1=k^2$
$\Rightarrow k<n\Rightarrow k\in \left \{ 1;2;...;n \right \}$
Mà $k|p+1$ $(2)$
$(1)(2)$ mâu thuẫn,vậy điều giả sử là sai nên $p+1$ không thể là số chính phương!

P là tích của n số nguyên tố đầu tiên chứ không phải n số tự nhiên (khác 0) đầu tiên bạn ạ.
Cách mình thế này:
Đặt $P = p_{1}.p_{2}...p_{n}$ với $p_{1},p_{2},...,p_{n}$ là n số nguyên tố đầu tiên => $2|P$ (vì $p_{1} = 2$)
Giả sử P + 1 là số chính phương, đặt $P + 1 = A^{2}$ với A > 0 => A lẻ,
$P = (A - 1)(A + 1)$ là tích hai số chẵn liên tiếp nên 8|(A - 1)(A + 1) => $2|(p_{2}.p_{3}...p_{n})$ (vô lí)
=> P + 1 không phải là SCP