Chủ đề này có 1 trả lời

[dactai10a1]

Cho m,n là các số nguyên dương thỏa ${n^2} - 1 \vdots {m^2} - {n^2} + 1;m - n = 2k$.Chứng minh ${m^2} - {n^2} + 1$ là số chính phương (bài toán này rất quen thuộc)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dactai10a1: 25-11-2012 - 22:18

[nguyenta98]

Cho m,n là các số nguyên dương thỏa ${n^2} - 1 \vdots {m^2} - {n^2} + 1;m - n = 2k$.Chứng minh ${m^2} - {n^2} + 1$ có ước số chính phương khác 1(bài toán này rất quen thuộc)

Giải như sau:
Ta có $n^2-1 \vdots m^2-n^2+1 \Rightarrow n^2-1+m^2-n^2+1 \vdots m^2-n^2+1 \Rightarrow m^2 \vdots m^2-n^2+1$
Vì $m-n=2k$ nên tồn tại $a,b$ sao cho $m=a+b,n=a-b$ suy ra $k=a$
Như vậy $(a+b)^2 \vdots (a+b)^2-(a-b)^2+1 \Rightarrow (a+b)^2 \vdots 4ab+1$
Đặt $(a+b)^2=(4ab+1)t \Rightarrow a^2+b^2+2ab=4abt+t \Rightarrow a^2-a(4bt-2b)+b^2-t=0$
Đến đây Vieta Jumping thì suy ra $b^2-t=0$ nên $t$ chính phương do đó $(a+b)^2=t(4ab+1)$ mà khi $t$ chính phương suy ra $4ab+1$ chính phương hay $m^2-n^2+1$ chính phương, đây là $đpcm$

P/S kĩ thuật Vieta jumping http://en.wikipedia....i/Vieta_jumping

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 22-12-2012 - 20:36