Chủ đề này có 4 trả lời

[WhjteShadow]

Bài toán 1.
Ch0 $x,y,z$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:
$$\frac{x+y}{y+z}+\frac{y+z}{z+x}+\frac{z+x}{x+y}\geq \frac{x+y+2z}{x+2y+z}+\frac{2x+3y+3z}{x+y+2z}$$

[Đề thi OLP 30-4 THPT Hùng Vương]

Bài toán 2.
Ch0 các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng:
$$\frac{a}{a^2+ab+bc}+\frac{b}{b^2+bc+ca}+\frac{c}{c^2+ca+ab}\geq \frac{9(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^3}$$

[Đề thi OLP 30-4 THPT Trần Hưng Đạo]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 03-12-2012 - 21:23

[Joker9999]

Bài toán 2.
Ch0 các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng:
$$\frac{a}{a^2+ab+bc}+\frac{b}{b^2+bc+ca}+\frac{c}{c^2+ca+ab}\geq \frac{9(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^3}$$

[Đề thi OLP 30-4 THPT Trần Hưng Đạo]

Giải như sau:
Nhân cả 2 vế của BDT đã cho với $a+b+c$ ta được:
$\sum \frac{a^2}{a^2+ab+bc}+\sum \frac{a(b+c)}{a^2+ab+bc}\geq \frac{9(ab+ac+bc)}{(a+b+c)^2}$
Ta coá:
Theo BDT Cauchy-Schwarz thì:
$\sum \frac{a^2}{a^2+ab+bc}\geq \frac{(a+b+c)^2}{\sum (a^2+ab+bc)}=1$
$\sum \frac{a(b+c)}{a^2+ab+bc}\geq \frac{(\sum (a(b+c)^2)}{\sum a(b+c)(a^2+ab+bc)}=\frac{4(ab+ac+bc)}{\sum a^2+\sum ab}$
Ta cần CM:
$1+\frac{4\sum ab}{\sum a^2+\sum ab}\geq \frac{9\sum ab}{(a+b+c)^2}\Leftrightarrow \frac{1}{ab+ac+bc}+\frac{4}{\sum a^2+\sum ab}\geq \frac{(1+2)^3}{(a+b+c)^2}$
Hiển nhiên theo BDT Cauchy-Schwarz.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$
Chứng minh của ta được hoàn tất.

[tramyvodoi]

Bài toán 1.
Ch0 $x,y,z$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:
$$\frac{x+y}{y+z}+\frac{y+z}{z+x}+\frac{z+x}{x+y}\geq \frac{x+y+2z}{x+2y+z}+\frac{2x+3y+3z}{x+y+2z}$$

[Đề thi OLP 30-4 THPT Hùng Vương]

Bài toán 2.
Ch0 các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng:
$$\frac{a}{a^2+ab+bc}+\frac{b}{b^2+bc+ca}+\frac{c}{c^2+ca+ab}\geq \frac{9(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^3}$$

[Đề thi OLP 30-4 THPT Trần Hưng Đạo]

Mình xin giải bài toán 1:
Đặt $a = x + y$ $,$ $b = y + z$ $,$ $c = z + x$
BĐT $\Leftrightarrow$ $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{b+c}{a+b}+\frac{a+2b+c}{b+c}$
$\Leftrightarrow$ $\frac{a(a+b)(b+c)}{b}+\frac{b(a+b)(b+c)}{c}+\frac{c(a+b)(b+c)}{a}\geq (a+b)^{2}+(b+c)^{2}+(a+b)(b+c)$
$\Leftrightarrow$ $\frac{a^{2}c}{b}+\frac{b^{2}(a+b)}{c}+\frac{cb(b+c)}{a}\geq 2b^{2}+2bc+ab$
Ta có VT $=$ $\frac{1}{2}(\frac{a^{2}c}{b}+\frac{b^{3}}{c})+\frac{1}{2}(\frac{a^{2}c}{b}+\frac{bc^{2}}{a})+\frac{1}{2}(\frac{c^{2}b}{a}+\frac{b^{3}}{c})+b^{2}(\frac{c}{a}+\frac{a}{c})$
$\geq ab+\sqrt{ac^{3}}+\sqrt{\frac{b^{4}c}{a}}+2b^{2}\geq ab+2bc+2b^{2}$
$\Rightarrow$ $Q.E.D$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 04-12-2012 - 18:28

[Joker9999]

Bài toán 1.
Ch0 $x,y,z$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:
$$\frac{x+y}{y+z}+\frac{y+z}{z+x}+\frac{z+x}{x+y}\geq \frac{x+y+2z}{x+2y+z}+\frac{2x+3y+3z}{x+y+2z}$$

[Đề thi OLP 30-4 THPT Hùng Vương]

]

Cứ kiểu này là tớ SOS
Giải như sau:
Đặt$a=x+y,b=y+z,c=x+z$ và chuẩn hoá a+b+c=3 đồng thời chuyển BDT đã cho về dạng chuẩn $SOS$:
$(a-b)^2(\frac{1}{b}+\frac{c}{2ab})+(b-c)^2(\frac{1}{c}+\frac{a}{2bc})+(a-c)^2(\frac{1}{a}+\frac{b}{2ac}-\frac{3}{(a+b)(a+c)})\geq 0$
Dễ thấy
$\frac{1}{a}-\frac{3}{(a+b)(a+c)}=\frac{bc}{a(a+b)(a+c)}>0$ nên có dpcm
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z$

các bạn like giùm mình nha

Hay bọn e tự like mà j phải........................ X_X

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Joker9999: 04-12-2012 - 10:19

[Nguyenhuyen_AG]

Mình xin giải bài toán 1:
Đặt a=x+y,b=y+z,c=z+x
BĐT<=>$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{b+c}{a+b}+\frac{a+2b+c}{b+c}$

Sau không dùng Cauchy-Schwarz cho nó gọn

Ta có bất đẳng thức trên tương đương với $$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{b+c}{a+b}+\frac{a+b}{b+c}+1,$$ $$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+1\geq \frac{(a+2b+c)^2}{(a+b)(b+c)},$$ Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có $$Vt=\frac{a^2}{ab}+\frac{b^2}{bc}+\frac{c^2}{ca}+\frac{b^2}{b^2}\geq \frac{(a+b+c+b)^2}{ab+bc+ca+b^2} = \frac{(a+2b+c)^2}{(a+b)(b+c)}.$$ Chứng minh hoàn tất.

Chú ý rằng, bất đẳng thức trên còn tương đương với $$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \ge 3+\frac{(c-a)^2}{ab+bc+ca+b^2}.$$ Vì $ab+bc+ca < ab+bc+ca+b^2,$ nên ta sẽ đưa bài toán về chứng minh bất đẳng thức mạnh hơn sau đây $$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \ge 3+\frac{(c-a)^2}{ab+bc+ca}.$$ Đây là một bài toàn quen thuộc của anh Cẩn có thể chứng minh bằng AM-GM, ngoài ra thì $k=1$ cũng là số lớn nhất để $$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \ge 3+\frac{k(c-a)^2}{ab+bc+ca}.$$ Bất đẳng thức sau luôn đúng.