Chủ đề này có 1 trả lời

[TianaLoveEveryone]

Cho các số dương a,b,c thỏa mãn: $\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{2}{b}$
CMR: $\frac{a+b}{2a-b}+\frac{b+c}{2c-b}\geq 4$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TianaLoveEveryone: 06-12-2012 - 12:48

[Oral1020]

$\oplus$Ta có $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{2}{b}$
$\Longleftrightarrow \dfrac{a+c}{ac}=\dfrac{2}{b}$
$\Longleftrightarrow b=\dfrac{2ac}{a+c}$
$\oplus$ Từ đó ta có $\dfrac{a+b}{2a-b}=\dfrac{a(a+3c)(a+c)}{(a+c)(2a^2)}=\dfrac{a+3c}{2a}$
$\oplus$Tương tự ,ta có:$\dfrac{b+c}{2c-b}=\dfrac{c+3a}{2c}$
$\oplus$Như vậy bất đẳng thức trở thành:
$\dfrac{a+3c}{2a}+\dfrac{c+3a}{2c}=\dfrac{2ac+3(a^2+c^2)}{2ac}$
$\oplus$ Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$,ta có:$a^2+c^2 \ge 2ac$
$\oplus$ Như vậy $\dfrac{2ac+3(a^2+c^2)}{2ac} \ge \dfrac{6ac}{2ac}=4$
$\Longrightarrow \dfrac{a+b}{2a-b}+\dfrac{b+c}{2c-b} \ge 4$
$\oplus$Dấu $"="$xảy ra khi $a=b=c$