Chứng minh không có số hạng nào của dãy có thể viết dưới dạng tổng các lũy thừa bậc bảy của 3 số nguyên
#1
Đã gửi 09-12-2012 - 10:49
$x_1=1964$;$x_2=96$;$x_{n+2}=30x_{n+1}^2-75x_n.x_{n+1}-1944x_n$,$\forall n\ge1$.
Chứng minh rằng không có số hạng nào của dãy có thể viết dưới dạng tổng các lũy thừa bậc bảy của 3 số nguyên,
- nghiemthanhbach và nhungvienkimcuong thích
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#2
Đã gửi 05-08-2015 - 10:11
Cho dãy $x_n$ được xác định như sau:
$x_1=1964$;$x_2=96$;$x_{n+2}=30x_{n+1}^2-75x_n.x_{n+1}-1944x_n$,$\forall n\ge1$.
Chứng minh rằng không có số hạng nào của dãy có thể viết dưới dạng tổng các lũy thừa bậc bảy của 3 số nguyên,
Nếu $a$ là số nguyên, thì theo Định lí Fermat nhỏ , ta có
$a^{29}\equiv a(mod29)$
Ta có : $a^{29}-a=a(a^{28}-1)=a(a^{14}-1)(a^{14}+1)=a(a^7-1)(a^7+1)(a^{14}+1)$
$a^{14}+1=(a^7-12)(a^7+12)+145$
Vì $145=5.29$ nên suy ra : $a^7\equiv m(mod29),m\in \left \{ 0,\pm 1,\pm 2 \right \}$
Do đó nếu $a,b,c$ là các số nguyên thì $a^7+b^7+c^7\equiv n(mod29),n\in \left \{ 0,\pm 1,\pm2,\pm3,\pm4,\pm5,\pm6,\pm10,\pm11,\pm12,\pm13,\pm14 \right \}$
Xét dãy số $\left \{ x_n \right \}$ và thực hiện phép chia $x_n$ cho $29$ ta có :
$x_1\equiv -8(mod29),x_2\equiv 9(mod29),x_3\equiv 8(mod29),x_4\equiv -9(mod29),x_5\equiv -8(mod29),x_6\equiv 9(mod29),x_7\equiv 8(mod29),x_8\equiv -9(mod29),...$
Gọi $r_n\equiv x_n(mod29)$ thì $\left \{ r_n \right \}$ có dạng là : $-8,9,8,-9,-8,9,8,-9,...$ , là dãy tuần hoàn chu kì $4$
Nếu gọi $A$ là tập hợp $A=\left \{ 0,\pm 1,\pm2,\pm3,\pm4,\pm5,\pm6,\pm10,\pm11,\pm12,\pm13,\pm14 \right \}$ thì $-8,9,8,-9$ đều không thuộc $A$
Kết hợp với lập luận trên suy ra không có số hạng nào của dãy là tổng các lũy thừa bậc $7$ của $3$ số nguyên (ĐPCM)
- rainbow99, nhungvienkimcuong và Chuyen Toan 2k thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh