Chủ đề này có 1 trả lời

[Sagittarius912]

Cho $a,b,c>0$. CMR
$\frac{1}{a(b+1)}+\frac{1}{b(c+1)}+\frac{1}{c(a+1)}\geq \frac{3}{1+abc}$


Balkan 2006:Đã có khá nhiều trên diễn đàn
Gợi ý:Cộng 1 vào mỗi thừa số ở vế trái và AM-GM 6 số

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mai Duc Khai: 09-12-2012 - 22:45

[Joker9999]

Cho $a,b,c>0$. CMR
$\frac{1}{a(b+1)}+\frac{1}{b(c+1)}+\frac{1}{c(a+1)}\geq \frac{3}{1+abc}$

GIải như sau:
Ta sẽ CM 1 BDT mạnh hơn:
$\sum \frac{1}{a(b+1)}\geq \frac{3}{\sqrt[3]{abc}(\sqrt[3]{abc}+1)}$
Đặt $k^3=abc$ như vậy ta sẽ đặt $a=\frac{ky}{x}$, tương tự cho $b,c$
BDT cần CM trở thành:
$\frac{x}{ky+z}+\frac{y}{kx+z}+\frac{z}{kx+y}\geq \frac{3}{k+1}$
Áp dụng BDT Cauchy-Schwarz ta có:
$\frac{x}{ky+z}+\frac{y}{kx+z}+\frac{z}{kx+y}\geq \frac{(x+y+z)^2}{(k+1)(xy+xz+yz)}\geq \frac{3}{k+1}$
Để CM BDT ban đầu ta chỉ cần CM:
$k^3+1\geq k^2+k\Leftrightarrow (k-1)^2(k+1)\geq 0$
( Hiển nhiên)
Kết thức chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$