Chủ đề này có 1 trả lời

[Sagittarius912]

Cho $a,b,c>0$. CMR
$\sum \frac{a^{2}(b+c)}{(b^{2}+c^{2})(2a+b+c)}> \frac{2}{3}$

[maitienluat]

Sử dụng Cauchy-Schwarz:
$\sum \frac{a^{2}(b+c)}{(b^{2}+c^{2})(2a+b+c)}\sum \frac{a^{2}(b^{2}+c^{2})(2a+b+c)}{b+c}\geq \left ( \sum a^{2} \right )^{2}$
Ta cần c/minh:
$3\left ( \sum a^{2} \right )^{2}\geq 2\sum \frac{a^{2}(b^{2}+c^{2})(2a+b+c)}{b+c}$
$\Leftrightarrow 3\sum a^{4}+2\sum a^{2}b^{2}\geq 4\sum \frac{a^{3}(b^{2}+c^{2})}{b+c}$
$\Leftrightarrow 3\sum \left ( a^{4}-\frac{a^{3}(b^{2}+c^{2})}{b+c} \right )+\sum \left ( a^{2}(b^{2}+c^{2})-\frac{a^{3}(b^{2}+c^{2})}{b+c} \right )\geq 0$
$\Leftrightarrow 3\sum \frac{ab(a-b)^{2}(a^{2}+b^{2}+ab+bc+ca)}{(a+c)(b+c)}+\sum \frac{a^{2}(b^{2}+c^{2})(b+c-a)}{b+c}\geq 0$
Không mất tổng quát giả sử $a\geq b\geq c$, khi đó ta có
$3\sum \frac{ab(a-b)^{2}(a^{2}+b^{2}+ab+bc+ca)}{(a+c)(b+c)}+\sum \frac{a^{2}(b^{2}+c^{2})(b+c-a)}{b+c}\geq \frac{2ab(a-b)^{2}(a^{2}+b^{2}+ab+bc+ca)}{(a+c)(b+c)}+\frac{a^{2}(b^{2}+c^{2})(b-a)}{b+c}+\frac{b^{2}(a^{2}+c^{2})(a-b)}{a+c}=\frac{(a-b)^{2}}{(c+a)(c+b)}\left [ 2ab(a^{2}+b^{2}+ab+bc+ca)-a^{2}b^{2}-(b^{2}+ab+a^{2})c^{2}-(a+b)c^{3} \right ]\geq \frac{(a-b)^{2}}{(c+a)(c+b)}\left [ 2ab(a^{2}+b^{2}+ab+bc+ca)-a^{2}b^{2}-(b^{2}+ab+a^{2})ab-(a+b)abc \right ]=\frac{ab(a-b)^{2}(a^{2}+b^{2}+cb+ca)}{(a+c)(b+c)}\geq 0$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b,c=0$ và các hoán vị.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi maitienluat: 08-01-2013 - 21:54