Chủ đề này có 12 trả lời

[tuannd2009]

Cho x,y,z >0 và xyz=1. tìm giá trị nhỏ nhất của:
$P=\frac{x+3}{(x+1)^{2}}+\frac{y+3}{(y+1)^{2}}+\frac{z+3}{(z+1)^{2}}$

[Poseidont]

Em có cái này các anh coi được không
$(x,y,z)\rightarrow (\frac{b}{a},\frac{c}{b},\frac{a}{c})$
BĐT$\Leftrightarrow \sum \frac{3a^2+ab}{(a+b)^2)}\geq 3\Leftrightarrow \frac{3}{4}\sum (\frac{a-b}{a+b}+1)^2+\frac{1}{4}\sum \frac{(a+b)^2-(a-b)^2}{(a+b)^2)}\geq 3$
$\Leftrightarrow \sum (\frac{a-b}{a+b})^2\geq 3\prod \frac{a-b}{a+b}$
Mặt khác $\prod \frac{a-b}{a+b}\leq 1\Leftrightarrow 2(a^2b+b^2c+c^2a)\geq 0$
$\square.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Duc Nghia: 10-12-2012 - 14:40

[Mrnhan]

Cho x,y,z >0 và xyz=1. tìm giá trị nhỏ nhất của:
$P=\frac{x+3}{(x+1)^{2}}+\frac{y+3}{(y+1)^{2}}+\frac{z+3}{(z+1)^{2}}$

em có cách này, bạn xem sao
ta có: $P=\sum \frac{a+3}{(a+1)^2}=\sum \frac{1}{a+1}+2\sum \frac{1}{(a+1)^2}\geq \sum \frac{1}{a+1}+\frac{2}{3}(\sum \frac{1}{a+1})^2$
bây giờ chứng minh: $\sum \frac{1}{a+1}\geq \frac{3}{2}$(cái này tương đối dễ)
bạn có thể tham khảo tại đây:http://diendantoanho...-lưu-2-nghệ-an/

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr nhan: 10-12-2012 - 15:45

[lehoanghiep]

em có cách này, bạn xem sao
ta có: $P=\sum \frac{a+3}{(a+1)^2}=\sum \frac{1}{a+1}+2\sum \frac{1}{(a+1)^2}\geq \sum \frac{1}{a+1}+\frac{2}{3}(\sum \frac{1}{a+1})^2$
bây giờ chứng minh: $\sum \frac{1}{a+1}\geq \frac{3}{2}$(cái này tương đối dễ)
bạn có thể tham khảo tại đây:http://diendantoanho...-lưu-2-nghệ-an/

Cái này $\sum \frac{1}{a+1}\geq \frac{3}{2}$ không tương đối dễ đâu bạn! (So với phần biến đổi trên đó )

Em có cái này các anh coi được không
$(x,y,z)\rightarrow (\frac{b}{a},\frac{c}{b},\frac{a}{c})$
BĐT$\Leftrightarrow \sum \frac{3a^2+ab}{(a+b)^2)}\geq 3\Leftrightarrow \frac{3}{4}\sum (\frac{a-b}{a+b}+1)^2+\frac{1}{4}\sum \frac{(a+b)^2-(a-b)^2}{(a+b)^2)}\geq 3$
$\Leftrightarrow \sum (\frac{a-b}{a+b})^2\geq 3\prod \frac{a-b}{a+b}$
Mặt khác $\prod \frac{a-b}{a+b}\leq 1\Leftrightarrow 2(a^2b+b^2c+c^2a)\geq 0$
$\square.$

Dấu bằng xảy ra khi nào?

[Mrnhan]

Cái này $\sum \frac{1}{a+1}\geq \frac{3}{2}$ không tương đối dễ đâu bạn! (So với phần biến đổi trên đó )


Dấu bằng xảy ra khi nào?

bạn nhớ BĐT $\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\geq \frac{2}{1+xy}, xy\geq 1$ ko??
áp dụng BĐT đó, rồi khảo sát theo 1 biến có $\leq 1$... thế là xong..!!
P/s: chúc các bạn thành công..!!

[HÀ QUỐC ĐẠT]

bây giờ chứng minh: $\sum \frac{1}{a+1}\geq \frac{3}{2}$(cái này tương đối dễ)

Bất đẳng thức này sai,thử với a=b=100,c=$\frac{1}{10000}$

[Mrnhan]

Bất đẳng thức này sai,thử với a=b=100,c=$\frac{1}{10000}$

quái. cái này sao lại sai nhỉ..!! bạn thử xem lại sao.!!

[HÀ QUỐC ĐẠT]

Bạn thử bấm máy tính xem

[tim1nuathatlac]

Cho x,y,z >0 và xyz=1. tìm giá trị nhỏ nhất của:
$P=\frac{x+3}{(x+1)^{2}}+\frac{y+3}{(y+1)^{2}}+\frac{z+3}{(z+1)^{2}}$

Đổi biến: $\left( {x;y;z} \right) \to \left( {{a^4};{b^4};{c^4}} \right)$

Ta có: \[ineq \Leftrightarrow \sum {\dfrac{{{a^4} + 3}}{{{{\left( {{a^4} + 1} \right)}^2}}} \ge 3} \]

Dễ dàng chứng minh được rằng:

\[\dfrac{{{a^4} + 3}}{{{{\left( {{a^4} + 1} \right)}^2}}} \ge \dfrac{3}{{{a^6} + {a^3} + 1}}\]

$\Leftrightarrow \left ( a-1 \right )^{2}\left ( a^{5}+2a^{4}-a^{2}+a+3 \right )\geq 0$

Đến đây nhận thấy BĐT ban đầu được chứng minh khi ta chứng minh được rằng:

\[\sum {\dfrac{1}{{{a^6} + {a^3} + 1}}} \ge 1\]

[Joker9999]

Bạn thử bấm máy tính xem

Có sai đâu bạn

[tuannd2009]

Xin lỗi mọi người.. nhưng đã ai có đáp án cụ thể chưa ạ????

[tuannd2009]

bạn nhớ BĐT $\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\geq \frac{2}{1+xy}, xy\geq 1$ ko??
áp dụng BĐT đó, rồi khảo sát theo 1 biến có $\leq 1$... thế là xong..!!
P/s: chúc các bạn thành công..!!

Bạn có thể làm tường minh được không ạ?
Cmar ơn

[dark templar]

Thấy mấy chú tranh cãi nhau sao mà khổ quá Xem 2 lời giải ở đây.
P.s:Đừng đọc lời giải của mình,sai rồi đấy.