Chủ đề này có 2 trả lời

[VNSTaipro]

Giải hệ phương trình
$\left\{\begin{matrix}
x^{3}y-y^{4}=7\\x^{2}y+2xy^{2}+y^{3}=9
\end{matrix}\right.$

[hoangtrong2305]

Giải hệ phương trình
$\left\{\begin{matrix}
x^{3}y-y^{4}=7\\x^{2}y+2xy^{2}+y^{3}=9
\end{matrix}\right.$

Bài nì mình làm theo cách...ăn hên

$\left\{\begin{matrix}
x^{3}y-y^{4}=7\\x^{2}y+2xy^{2}+y^{3}=9
\end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} y(x-y)(x^{2}+xy+y^{2})=7\\y(x+y)^{2}=9 \end{matrix}\right.$

Từ phương trình $y(x+y)^{2}=9$, ta có $y>0$

Xét phương trình $y(x-y)(x^{2}+xy+y^{2})=7$

Giải phương trình $x^{2}+xy+y^{2}=0$ theo biến $x$; tham số $y$, ta có $\Delta _{y}=-3y^{2}<0$

Tương với biến $y$, tham số $x$, ta có $\Delta _{x}=-3x^{2}<0$

Vậy $x^{2}+xy+y^{2}>0$

Mặt khác, có $y>0$ nên để phương trình $y(x-y)(x^{2}+xy+y^{2})=7$ có nghiệm thì $\left\{\begin{matrix} x>0\\ x>y \end{matrix}\right.$

Vậy điều kiện chung để hệ có nghiệm là $\left\{\begin{matrix} x>0\\ y>0\\ x>y \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix}
x^{3}y-y^{4}=7\\x^{2}y+2xy^{2}+y^{3}=9
\end{matrix}\right.$

Xét phương trình $x^{2}y+2xy^{2}+y^{3}-9=0$ theo biến $x$, tham số $y$, ta có:

$\Delta' _{y}=9y>0$

Vậy phương trình có $2$ nghiệm $\begin{bmatrix} x=-y^{2}+3\sqrt{y}\\ x=-y^{2}-3\sqrt{y} \end{bmatrix}$

Dễ thấy $x=-y^{2}-3\sqrt{y}<0$ nên ta nhận $x=-y^{2}+3\sqrt{y}$

Từ đó ta có hệ chỉ tồn tại đúng $1$ nghiệm $x$

Mặt khác, ta có $(2;1)$ là nghiệm của hệ, từ đó ta có $x=2;y=1$

Vậy ta có phương trình $2=-y^{2}+3\sqrt{y}$

$\Leftrightarrow y^{4}+4y^{2}-9y+4=0$

$\Leftrightarrow (y-1)(y^{3}+y^{2}+5y-4)=0$

Xét $g(y)=y^{3}+y^{2}+5y-4$ trên $(0;+\infty )$

$\Rightarrow g'(y)=3y^{2}+2y+5>0$

$\Rightarrow g(y)$ đồng biến trên $(0;+\infty )$

Mà $g(\frac{1}{2}).g(1)<0\Rightarrow g(y)$ có nghiệm $a \in (\frac{1}{2};1)$ (1)

Thay $x=2$ vào phương trình đầu, ta có:

$-y^{4}+8y-7=0$

$\Leftrightarrow (y-1)(-y^{3}-y^{2}-y+7)=0$

Đặt $f(y)=-y^{3}-y^{2}-y+7$, xét trên $(0;+\infty )$

$\Rightarrow f'(y)=-3y^{2}-2y-1>0$

$\Rightarrow f(y)$ đồng biến trên $(0;+\infty )$

Mà $f(1).f(\frac{3}{2})<0\Rightarrow f(y)=0$ có nghiệm $b \in (1;\frac{3}{2})$ (2)

Từ $(1);(2)\Rightarrow a\neq b$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x;y)=(2;1)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 25-12-2012 - 12:05

[minhdat881439]

Giải hệ phương trình
$\left\{\begin{matrix}
x^{3}y-y^{4}=7\\x^{2}y+2xy^{2}+y^{3}=9
\end{matrix}\right.$

Cách khác:

HPT $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y(x^{3}-y^{3})=7 & \\ y(x+y)^{2}=9\Rightarrow x> y> 0 & \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow x=\frac{3}{\sqrt{y}}-y$ thay vào phương trình đầu ta được:
$y[(\frac{3\sqrt[4]{8}}{ \sqrt{y} }-y)^{3}-y^{3}]=7$
Đặt $t=\sqrt{y}> 0$ thì:
$t^{2}[(\frac{3}{t}-t^{2})^{3}-t^{6}]=7 \Leftrightarrow t^{9}-(3-t^{3})^{3}+7t=0$
Xét hàm số f(t)=$t^{9}-(3-t^{3})^{3}+7t=0$
Ta có:f'(t)=$9t^{8}+9t^{2}(3-t^{3})^{2}+7> 0 ;\forall t> 0$
Vậy hàm số f(t) đồng biến trên khoảng $(0;+\infty )$nên nghiệm của hệ phương trình là duy nhất.Dễ thấy hệ có nghiệm $(2;1)$
Vậy....

p\s anh Trong siêng gõ quá

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhdat881439: 31-12-2012 - 09:55