Chủ đề này có 1 trả lời

[ntuan5]

1/ Cho dãy số nguyên xác định bởi:$x_1\in Z^+, x_{n+1}=x_n^2+x_n$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $x_1$ sao cho $2012|x_{2012}.$
2/ Cho dãy số $(a_n)$ xác định bởi: $a_1=a_2=1, a_3=2, a_{n+3}=2a_{n+2}a_{n+1}-a_n$. CMR: Tồn tại vô số số nguyên dương $n$ sao cho $2012|a_n^3+a_n^2+a_n+1.$

[lovesmaths]

Bài 1: Bài này phải cho vào box số học mới đúng.
Bài này giải dựa trên nhât xét -3 không là số chính phương theo mod 503.( chứng minh theo luật tương hỗ Gauss)
Ta cần tìm $x_1$ nhất để $x_2012$ chia hết cho 503
Ta chứng minh số nhỏ nhất đó là 502.
Nếu $x_1$<502, gọi n là số nhỏ nhất để $x_{n+1}$ chia hết cho 503. Dễ có n>2.
vì $x_n$ không chia hết cho 503 nên $x_n$+1 chia hết cho 503
Hay $x_{n-1}^2+x_{n-1}+1$ chia hết cho 503
Hay $*2x_{n-1}+1)^2+3$ chia hết cho 503. Mâu thuẫn vì -3 không là số chính phương theo mod 503
Vậy $x_1$ >=502
Xét theo module 4, dễ thấy 502 không thoả mãn vì 2012 chia hết cho 4.
Dễ thấy 503 thoả mãn.
Vậy số nhỏ nhất cần tìm là 503