Chủ đề này có 4 trả lời

[IloveMaths]

1.cho a,b,c >0 thỏa mãn a+b+c=1.chứng minh:
$\frac{1}{1-ab}+\frac{1}{1-bc}+\frac{1}{1-ca}\leqslant \frac{27}{8}$
2. cho 0<a,b,c<0,5 thỏa mản a+3b+5c=3.chưng minh:
$\frac{1}{a(6b+10c-5)}+\frac{9}{b(10c+2a-3)}+\frac{25}{c(2a+6b-1)}\geqslant 81$

[maitienluat]

Bài 1
Đặt $x=bc,y=ca,z=ab$. Khi đó ta cần c/minh
$\sum \frac{1}{1-x}\leq \frac{27}{8}\Leftrightarrow \sum \frac{1-9x}{1-x}\geq 0\Leftrightarrow \sum \frac{(1-9x)(2+3x)}{(1-x)(2+3x)}\geq 0$
Không mất tổng quát giả sử $a\geq b\geq c\Rightarrow x\leq y\leq z$
Dễ dàng kiểm tra được $(1-9x)(2+3x)\geq (1-9y)(2+3y)\geq (1-9z)(2+3z)$
và $(1-x)(2+3x)\leq (1-y)(2+3y)\leq (1-z)(2+3z)$.
Áp dụng BĐT Chebyshev ta có $3\sum \frac{(1-9x)(2+3x)}{(1-x)(2+3x)}\geq \left ( \sum (1-9x)(2+3x) \right )\left ( \sum \frac{1}{(1-x)(2+3x)} \right )$
Để c/minh $VP\geq 0$ ta chỉ cần c/minh $\sum (1-9x)(2+3x)\geq 0$
Khai triển và rút gọn ta c/minh $5\sum ab+9\left ( \sum ab \right )^{2}\leq 18abc+2$
Ta có $\prod (1-2a)= \prod (b+c-a)\leq abc\Leftrightarrow 4\sum ab\leq 9abc+1$
mặt khác $\sum ab\leq \frac{\left ( \sum a \right )^{2}}{3}= \frac{1}{3}\Rightarrow 5\sum ab+9\left ( \sum ab \right )^{2}\leq 8\sum ab\leq 18abc+2$.
BĐT được c/minh xong. Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi maitienluat: 30-12-2012 - 08:48

[maitienluat]

Bài 2
Ta có $\frac{1}{a(6b+10c-5)}= \frac{1}{a(1-2a)}= \frac{a}{a^{2}(1-2a)}$
Áp dụng AM-GM $\frac{a}{a^{2}(1-2a)}\geq \frac{a}{\left( \frac{a+a+1-2a}{3} \right )^{3}}= 27a$
Tương tự với 2 phân thức còn lại ta suy ra $VT\geq 27(a+3b+5c)= 81$ (đpcm)
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}$

[banhgaongonngon]

2. cho 0<a,b,c<0,5 thỏa mản a+3b+5c=3.chưng minh:
$\frac{1}{a(6b+10c-5)}+\frac{9}{b(10c+2a-3)}+\frac{25}{c(2a+6b-1)}\geqslant 81$

Cách khác:

Ta có $VT=\frac{1}{a(1-2a)}+\frac{3}{b(1-2b)}+\frac{5}{c(1-2c)}$

Theo bất đẳng thức $AM-GM$ thì

$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{a(1-2a)}+27a+27(1-2a)\geq 27\\ \frac{3}{b(1-2b)}+81b+81(1-2b)\geq 81 \\ \frac{5}{c(1-2c)}+135c+135(1-2c)\geq 135 \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow VT+27a+81b+135c+27(1-2a)+81(1-2b)+135(1-2c)\geq 243$
$\Rightarrow VT\geq 81$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c\frac{1}{3}$

[yeutoan11]

Bài 1 : Học lóm đc thím Đạt phương pháp tìm cận dưới , áp dụng vậy :">
Ta sẽ tìm số $x$ là cận dưới và trừ ra :
BĐT cần CM tương đương :
$\sum (\frac{1}{1-ab}-x)\leq \frac{27}{8}-3x$
$\sum \frac{xab-x+1}{1-ab}\geq \frac{27}{8}-3x$
Có 2 đánh giá với $ab$ là $ab \leq \frac{(a+b)^2}{4}<\frac{1}{4}$ hay $ab < ab+bc+ca \leq \frac{1}{3}$
$x$ càng lớn thì càng tốt nên chọn $ab < \frac{1}{4}$ nên $x=\frac{4}{3}$
BĐT trở thành :
$\sum \frac{1-4ab}{1-ab} \ge \frac{15}{8}$
Dùng BĐT C.S
$VT \ge\frac{(3-4(ab+bc+ca))^2}{4(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-5(ab+bc+ca)+3}$
Vậy ta cần CM:
$8(3-4q)^2\geq 15(4q^2-8r-5q+3)$ với $q=ab+bc+ca ; r=abc$
$\Leftrightarrow 68q^2-117q+27+120r \geq 0$
Theo $schur$ : $r \ge \frac{1}{9}(4q-1)$
Thay vào BDT cần CM tương đương :
$(3q-1)(68q-41) \ge 0$ Đúng do $ q \le \frac{1}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi yeutoan11: 30-12-2012 - 09:36