Chủ đề này có 2 trả lời

[phatthientai]

Cho 4 số thực dương $a,b,c,d$ thỏa $a+b+c+d\vdots 4$, $ab+bc+cd+da+ac+bd\vdots 2$
Chứng minh rằng $$\frac{9{{\left( a+b+c+d \right)}^{2}}}{16}-\left( ab+bc+cd+da+ac+bd \right)$$ là tổng của 3 số chính phương

[tay du ki]

bài này giải sao nhỉ ? 4 năm rồi mà vẫn chưa có ai giải được sao 

[nguyenhaan2209]

Đề bài tương đương với việc CMR:

A=9(a+b+c+d)^2-16(ab+bc+cd+da+ab+da) có thể biểu diễn được dưới dạng tổng 3 số chính phương

Sử dụng hằng đẳng thức Lagrange: 2(x²+y²)=(x+y)²+(x-y)²

Khi đó 8(x²+y²)=4(x+y)²+4(x-y)²

Đặt x+y=a-b, x-y=c-d thì ta có 4(a-b)²+4(c-d)²=2(a-b+c-d)²+2(a-b-c+d)²

Tương tự, ta có 4(a+b)²+4(c+d)²=2(a+b+c+d)²+2(a+b-c-d)²

Từ đó: A=(a+b+c+d)²+2[(a+b+c+d)²+(a-b-c+d)²+(a-b+c-d)²+(a+b-c-d)

 

Từ đề bài dễ cm được 4 số phải đồng thời cùng lẻ hoặc cùng chẵn

Ta sẽ CM ước của A không có số nguyên tố nào có dạng 8k+7

Gọi v là số mũ của 2 nhỏ nhất trong phân tích của (a,b,c,d), WLOG g/s là a và g/s v₂(a)<=v₂(b)<=v₂(c)<=v₂(d) 

Đặt A'=A / 2^[v/2] (kí hiệu phần nguyên), ta thấy A' nguyên

Khi đó A' ={2x₁²+4(x₂²+x₃²+x₄²+x₅²)} hoặc A'/2 (dựa vào số dư của v cho 2 trên)

Cả 2TH này đều cho ta A' đồng dư khác 7 mod 8

Nếu v<min{v₂(b,c,d)} tức là v cũng là số mũ đúng của A' thì khi đó A' sẽ có dạng 4^v(8n+k) với k khác 7

CMTT nếu với TH v=v₂(b,c)<v₂(d)

Ta chỉ xét TH cuối cùng là v₂(a)=v₂(b)<v₂(c)<v₂(d) (TH v2 cả 4 số bằng nhau thì ta thấy A' có dạng 4^v(8n+k) với k=1 hoặc 2)

Khi đó với xét 2TH v chẵn v lẻ thì ta có 3(a+b+c+d)^2 đồng dư {3(a'+b'+c'+d')^2,6(a'+b'+c'+d')^2} là số chẵn và = 0,4 (mod 8)

 

Từ những lập luận trên ta kết luận rằng A có dạng 4^a(8n+k) với k khác 7

Ta có bổ đề sau: Mọi số tự nhiên m đều có thể biểu diễn thành tổng 3 số chính phương nếu m không 4^a(8n+7)

+ Không mất tính tổng quát ta chỉ việc xét với số m có dạng square-free, tức m=p1...pr với pr là các số nguyên tố >2 

+ Qua định lí Thặng dư Trung Hoa + Dirichlet arithmetic congression ta chọn được (-2q/pi)=1 (Jakobil) và q=1(mod 4)

+ Tính nhân tính của kí hiệu Jakobil giúp ta có (-m/q)=1 tức m=3(mod 8) từ đó tồn tại b để b^2+3 chia hết cho q

+ Xét mod 4 thì ta có b^2-4qh=m và đồng thời từ cách chọn số ta cũng có có t=-1/2q(mod m) (1)

+ Xét mặt phẳng 3 chiều với các điểm R=2tqx+tby+mz, S=(2q)^1/2.x+b/(2q)^1/2.y, T=m^(1/2)/(2q)^(1/2).y và áp dụng bổ đề Minkowski cho hình lồi RST với thể tích 3 chiều lớn hơn 8 thì tồn tại x,y,z t/m (1)

+ R^2+S^2+T^2=0(mod m) đồng thời cũng =R1^2+2(qx1^2+bx1y1+hy1^2) mà ta cũng chọn R^2+S^2+T^2<2m nên nó =m luôn

+ Đặt v là số trong ngoặc kí hiệu p^(2n+1) || v thì nếu p ko chia hết m ta có (m/p)=1 mà theo cách chọn v thì (-m/p)=1 nên p=1(mod 4)

+ Nếu p|m thì R1^2+2v=m nên thay vào suy ra p|R1, p|2qx+by1 từ đó y1^2=2q(mod p) và (2q/p)=1

+ Vì thế mọi ước nguyên tố với số mũ lẻ của p đều =1 (mod 4) nên p cũng = 1 (mod 4)

+ Áp dụng bổ đề mọi số 4k+1 đều có thể biểu diễn thành tổng 2 số cp ta có ngay R1^2 biểu điễn được

+ CMTT với TH m=1,2,5,6(mod 8) ta hoàn tất cm định lí này   

 

Định lí trên còn được gọi là định lí Legendre về tổng 3 số chính phương. Dãy số đặc biệt trên tham khảo ở đây: https://oeis.org/A004215