Chủ đề này có 1 trả lời

[NLT]

Bài toán cuối cùng mình post lên diễn đàn năm 2012 Chúc mọi người năm mới hạnh phúc

Bài toán: Cho $a,m,n$ nguyên dương, $a>1$, $m \neq n$. Chứng minh rằng nếu $a^m-1$ và $a^n-1$ có cùng các ước nguyên tố thì $a+1$ là lũy thừa của $2$.
___
NLT

[nguyenta98]

Bài toán cuối cùng mình post lên diễn đàn năm 2012 Chúc mọi người năm mới hạnh phúc

Bài toán: Cho $a,m,n$ nguyên dương, $a>1$, $m \neq n$. Chứng minh rằng nếu $a^m-1$ và $a^n-1$ có cùng các ước nguyên tố thì $a+1$ là lũy thừa của $2$.
___
NLT

Giải như sau:
Bổ đề: (Quen thuộc) $gcd(a^m-1,a^n-1)=a^{gcd(m,n)}-1$
$$**********$$
Đặt $gcd(m,n)=d$ khi ấy $m=dk,n=dh,gcd(k,h)=1$ do $m\neq n$ nên trong hai số $h,k$ tồn tại một số $\neq 1$ giả sử $k\neq 1$
Ta có $a^m-1=(a^d)^k-1$ đặt $a^d=b$
Khi ấy $a^m-1=b^k-1$ còn $a^{gcd(m,n)}-1=b-1$
Như vậy $b^k-1,b-1$ có cùng tập ước nguyên tố
Gọi $p$ là ước nguyên tố lẻ của $k$ khi ấy giả sử $p^x||k$
Ta có đặt $k=p^x.q$ với $gcd(p,q)=1$ lúc đó $b^k-1=(b^q-1)((b^q)^{p^{x-1}}+...+(b^q)+1)$
Ta thấy $gcd((b^q-1),((b^q)^{p^{x-1}}+...+(b^q)+1))|p^{x-1}$ kết hợp đk $b^k-1,b-1$ có cùng tập ước nguyên tố, $b^q-1 \vdots b-1$ khi ấy suy ra $gcd(b^q-1,(b^q)^{p^{x-1}}+...+(b^q)+1)\neq 1$ do đó ta suy ra $gcd(b^q-1,(b^q)^{p^{x-1}}+...+(b^q)+1)=p$ hay $b^q-1 \vdots p$ và $(b^q)^{p^{x-1}}+...+(b^q)+1 \vdots p$ hay $b^k-1 \vdots p \Rightarrow b-1 \vdots p$ đặt $p^y||b-1$
Theo LTE, $p>2$ suy ra $v_p(b^{p^x.q}-1)=v_p(b-1)+v_p(p^x.q)=y+x$ mà $v_p(b^q-1)=v_p(b-1)+v_p(q)=y+0=y$
Suy ra $v_p((b^q)^{p^{x-1}}+...+(b^q)+1)=x+y-y=x$ và $(b^q)^{p^{x-1}}+...+(b^q)+1=p^x$ vì ngược lại nó có một ước $r$ ngtố khác suy ra $b^q-1 \not \vdots r \Rightarrow b-1 \not \vdots r$ vô lí
Do đó $(b^q)^{p^{x-1}}+...+(b^q)+1=p^x$ vô lí do $VT>VP$ hiển nhiên
Như vậy $k$ không có ước nguyên tố nào mà $k\neq 1$ nên $k$ chỉ có ước nt là $2$ nên $k=2^r$
Do đó $b^{2^r}-1,b-1$ có cùng tập ước nguyên tố hay $b^2-1,b-1$ có cùng tập ước nguyên tố hay $b-1,b+1$ cùng tập ước nguyên tố giả sử $j|b-1 \Rightarrow j|b+1 \Rightarrow j=2$ khi ấy $b+1$ là luỹ thừa của $2$ và $b>1$ nên $b+1=2^i$ với $i\geq 2$ suy ra $a^d+1=2^i$ mà $a$ lẻ nên $d$ lẻ vì $d$ chẵn thì $a^d+1 \equiv 2 \pmod{4} \Rightarrow 2^i \equiv 2 \pmod{4}$ vô lí do $i\geq 2$ như vậy $d$ lẻ, suy ra $2^i \vdots a+1$ hay $a+1$ là luỹ thừa của $2$