Chủ đề này có 1 trả lời

[nguyenhnh]

Cho P(x) là đa thức bậc n với hệ số thực có n nghiệm phân biệt khác 0. Chứng minh rằng các nghiệm của đa thức $Q\left ( x \right )=x^{2}P^{^{''}}\left ( x \right )+3xP^{'}\left ( x \right )+P\left ( x \right )$ là thực và phân biệt.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhnh: 06-01-2013 - 11:46

[phudinhgioihan]

Cho P(x) là đa thức bậc n với hệ số thực có n nghiệm phân biệt khác 0. Chứng minh rằng các nghiệm của đa thức $Q\left ( x \right )=x^{2}P^{^{''}}\left ( x \right )+3xP^{'}\left ( x \right )+P\left ( x \right )$ là thực và phân biệt.

Ôi nửa tiếng của mình

$$Q(x)=(x^2P'(x))'+(xP(x))'=[ x(xP'(x)+P(x))]' $$

Đặt $D(x)=x(xP'(x)+P(x))$ .

Xét $f(x)=e^{\ln|x|}P(x) \;, x \in \mathbb{R}-\{0\}$

Giả sử $n$ nghiệm thực phân biệt khác 0 của $P(x)$ là $x_1<x_2<...<x_n$ , khi đó $f(x)=0$ cũng có $n$ nghiệm là các $x_i \;, i \in \{1,...,n\} $

$$f'(x)=e^{\ln |x|}(P'(x)+\dfrac{P(x)}{x} )$$

Các nghiệm thực của $f'(x)=0$ cũng chính là các nghiệm thực của pt $P'(x)+\dfrac{P(x)}{x}=0 $.

Theo định lý Lagrange ta có:

$$\forall i \in \{1,...,n-1\} , \exists y_i \in (x_i,x_{i+1}) , f(x_{i+1})-f(x_i)=(x_{i+1}-x_i)f'(y_i) $$

$$\Rightarrow \forall i \in \{1,...,n-1\}, \exists y_i \in (x_i,x_{i+1}) , f'(y_i)=0 $$

Do đó, $f'(x)=0$ có ít nhất $n-1$ nghiệm thực phân biệt khác 0, nên $P'(x)+\dfrac{P(x)}{x}=0$ có ít nhất $n-1$ nghiệm thực phân biệt khác 0 là các $y_i \;, i \in \{1,...,n-1\}$.

Lại có $D(x)=x(xP'(x)+P(x))=x^2(P'(x)+\dfrac{P(x))}{x}) $ nên $D(x)$ là đa thức bậc $n+1$ có ít nhất $n$ nghiệm thực là $0$ và các $y_i \;, i \in \{1,...,n-1\} $

Do đó $D(x)$ có $n+1$ nghiệm thực kể cả bội (nếu nghiệm bội thì chỉ duy nhất có một nghiệm khác 0 bội 2)

Nếu $x(xP'(x)+P(x))$ có đúng $n+1$ nghiệm thực phân biệt thì $Q(x)=[x(xP'(x)+P(x))]' $ có đúng $n$ nghiệm thực phân biệt.

Nếu $D(x)$ có một nghiệm $y_{i0}$ bội 2, khi đó $D(x)=x(x-y_{i0})^2H_{n-2}(x) $ với $H_{n-2}$ là đa thức bậc $n-2$ hệ số thực.

$$Q(x)=[x(xP'(x)+P(x))]'=(x-y_{i0})[2xH_{n-1}(x)+(x-y_{i0})(xH_{n-2}(x))'] $$

Vậy $Q(x)$ nhận $y_{i0}$ là nghiệm.

Đánh ký hiệu $n$ nghiệm ($y_{i0}$ chỉ tính một lần) của $D(x)$ theo thứ tự tăng dần là $u_j \;, j \in \{1,...,n\} $

Theo định lý Lagrange,
$$\forall j \in \{1,...,n-1\}, \exists t_j \in (u_j,u_{j+1}) , D(u_j)-D(u_{j+1})=(u_j-u_{j+1})D'(t_i) $$

$$\Rightarrow \forall j \in \{1,...,n-1\}, \exists t_j \in (u_j,u_{j+1}) , Q(t_i)=D'(t_i)=0 $$

Vậy $Q(x)$ có thêm $n-1$ nghiệm thực khác $y_{i0}$ nữa,do đó $Q(x)$ có đúng $n$ nghiệm thự phân biệt.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 06-01-2013 - 16:33