Chủ đề này có 3 trả lời

[WhjteShadow]

Bài toán 1.
Ch0 các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng:
$$\frac{a^2+b^2}{(a+b)^2}+\frac{b^2+c^2}{(b+c)^2}+\frac{c^2+a^2}{(c+a)^2}+\frac{a+b+c}{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}}\geq \frac{5}{2}$$
Bài toán 2.
Ch0 $a,b,c>0\, , \, a+b+c=3$. Chứng minh rằng:
$$(a+b^2)(b+c^2)(c+a^2)\geq 8$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 08-01-2013 - 22:07

[ducthinh26032011]

Bài toán 3:Cho $a,b,c> 0$.Chứng minh:
$$8(a^{3}+b^{3}+c^{3})^{2}\geq 9\prod (a^{2}+bc)$$
-------------
Thịnh hâm à ? Đăng ra chỗ khác chứ, với lại bài này dễ ch0 vô Olympiad làm j @@~

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 09-01-2013 - 09:10

[tim1nuathatlac]

Bài toán 3:Cho $a,b,c> 0$.Chứng minh:
$$8(a^{3}+b^{3}+c^{3})^{2}\geq 9\prod (a^{2}+bc)$$
-------------
Thịnh hâm à ? Đăng ra chỗ khác chứ, với lại bài này dễ ch0 vô Olympiad làm j @@~

Dễ thì để tớ làm

Ta có:

$VT\leq^{AM-GM} \frac{\left ( \sum a^{2}+\sum ab \right )^{2}}{3}\leq \frac{8\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )^{3}}{3}$

$= \frac{8\left ( a.a.1+b.b.1+c.c.1 \right )^{3}}{3}\leq ^{Holder}\frac{8\left ( a^{3}+b^{3}+c^{3} \right )\left ( a^{3}+b^{3}+c^{3} \right )\left ( 1+1+1 \right )}{3}=8\left ( \sum a^{3} \right )^{2}\square$

Bài toán 2.
Ch0 $a,b,c>0\, , \, a+b+c=3$. Chứng minh rằng:
$$(a+b^2)(b+c^2)(c+a^2)\geq 8$$

cậu xem lại đề

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tim1nuathatlac: 09-01-2013 - 22:49

[maitienluat]

Câu 2:
BĐT đã cho tương đương với
$$\frac{a^{2}+b^{2}}{(a+b)^{2}}-\frac{1}{2}+\frac{b^{2}+c^{2}}{(b+c)^{2}}-\frac{1}{2}+\frac{c^{2}+a^{2}}{(c+a)^{2}}-\frac{1}{2}+\frac{a+b+c}{\sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}}-1\geq 0$$
$$\Leftrightarrow \sum (b-c)^{2}\left [ \frac{1}{2(b+c)^{2}}-\frac{1}{\sqrt{3\sum a^{2}}(\sqrt{3\sum a^{2}}+\sum a)} \right ]\geq 0$$
Lại có $$a+b+c> \sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$$
$$\Rightarrow \sqrt{3\sum a^{2}}\left ( \sqrt{3\sum a^{2}}+\sum a \right )$$
$$> (3+\sqrt{3})\sqrt{\sum a^{2}}> 4\sum a^{2}> 4(b^{2}+c^{2})\geq 2(b+c)^{2}$$
Nên ta suy ra đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi maitienluat: 10-03-2013 - 15:15