Chủ đề này có 2 trả lời

[Ispectorgadget]

Tìm số nguyên dương $m$ bé nhất sao cho tồn tại $a>1$ để hệ phương trình đồng dư
\[\left\{ \begin{array}{l}
x \equiv {a^3}x\bmod m\\
y \equiv {a^5}y\bmod m\\
z \equiv {a^7}z\bmod m
\end{array} \right.\]

thỏa mãn với mọi $x,y,z\in \mathbb{N}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 10-01-2013 - 22:44

[degeawapsh]

Tìm số nguyên dương $m$ bé nhất sao cho tồn tại $a>1$ để hệ phương trình đồng dư
\[\left\{ \begin{array}{l}
x \equiv {a^3}x\bmod m\\
y \equiv {a^5}y\bmod m\\
z \equiv {a^7}z\bmod m
\end{array} \right.\]

thỏa mãn với mọi $x,y,z\in \mathbb{N}$

hệ tương dương với

\[\left\{ \begin{array}{l}
a^3 \equiv 1\bmod m\\
a^5 \equiv 1\bmod m\\
a^7 \equiv 1\bmod m
\end{array} \right.\]

 

Ta thấy m=1 thoả mãn đề bài và 1 là số nguyên dương bé nhất nên m=1 là giá trị cần tìm.

[degeawapsh]

Em xin dược giải lại:

Hệ đã cho thoả mãn với mọi $x,y,z$ khi và chỉ khi $(a,m)=1$ và $a^3\equiv a^5\equiv a^7\equiv 1 (mod m)$

Lại có $a^{\varphi (m)}\equiv 1 (mod m)$

$\Rightarrow a^3\equiv a^5\equiv a^7\equiv a^{\varphi (m)} (mod m)$

$\Rightarrow 3\vdots \varphi (m);5\vdots \varphi (m);7\vdots \varphi (m)$

$\Rightarrow \varphi (m)=1$

$\Rightarrow m=2$

Vậy $m=2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi degeawapsh: 04-06-2013 - 18:41