Chủ đề này có 6 trả lời

[Zaraki]

Chọn ba số bất kì trong tập hợp $\{ 1;2;3; \cdots ; 3n+1 \}$ sao cho tổng của ba số đó là $3n+1$. Hỏi giá trị lớn nhất của tích ba số đó có thể là bao nhiêu ?

[Zaraki]

Số tự nhiên từ $1$ đến $3n+1$ với $n \in \mathbb{N}^*$.

[BlackSelena]

Chọn ba số bất kì trong tập hợp $\{ 1;2;3; \cdots ; 3n+1 \}$ sao cho tổng của ba số đó là $3n+1$. Hỏi giá trị lớn nhất của tích ba số đó có thể là bao nhiêu ?

Áp dụng bđt $AM-GM$ thì đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$ nhưng điều này vô lý nên nghĩ là nó sẽ luẩn quẩn đâu đó gần điểm rơi này, chẳng hạn $b=c=n, a = n+1$
Vậy dự đoán $abc_{max} = n^2(n+1)$
Giả sử đã chọn được bộ số $a,b,c$ sao cho tích $abc$ lớn nhất, truớc hết ta chứng minh $b=c$:
Không giảm tính tổng quát, giả sử $a \geq b \geq c$ thì ta có $c \geq n$
Với trường hợp $n=1$ thì xét dễ r` ^^~.
Xét $n \geq 2$, dễ có $b \geq n$
Ta chứng minh $b \geq c + 1$ là vô lý, thật vậy. Thay $b$ thành $b-1$ và $c = c+1$ thì ta được tích bc lớn hơn, trái với điều giả sử.
Vậy $b \leq c$. Mà $b \geq n, c \leq n$ nên $b = c$
Cũng tư tưởng đó, ta chứng minh $a \geq b+2$ là vô lý, thật vậy. Thay bộ $(a;b;b)$ bởi $(a-2;b+1;b+1)$ thì ta lại được tích mới lớn hơn
Vậy $a=b$ hoặc $a=b+1$ nhưng loại được ngay trường hợp $a=b$
Vậy $a=n +1, b = c =n$, ta có đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 18-01-2013 - 20:58

[Zaraki]

Nếu ba số đó phân biệt thì ta làm như thế nào anh ??
_______
@BlackSelena: thật sự a cũng k biết =)), chẳng hoá là bài này htrc con bạn anh nó hỏi nên a mới post lẹ được như vậy, a đoán nếu nó là 3 số pb thì sẽ là 3 số liên tiếp đó . Ý tưởng chắc cũng như thế kia

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 18-01-2013 - 21:18

[Zaraki]

Nếu ba số đó phân biệt thì ta làm như thế nào anh ??
_______

Em không nghĩ có ba số nào liên tiếp mà có tổng là $3n+1$ cả, em đoán chắc là tích $(n-1)n(n+2)$ sẽ lớn nhất. Mong anh nói rõ hơn
_________
@BlackSelena: ấy chết a nhầm @@!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 19-01-2013 - 16:07

[Tru09]

Chọn ba số bất kì trong tập hợp $\{ 1;2;3; \cdots ; 3n+1 \}$ sao cho tổng của ba số đó là $3n+1$. Hỏi giá trị lớn nhất của tích ba số đó có thể là bao nhiêu ?

Theo a , lấy 3 số bất kỳ trong *tập hợp* thì chắc là khác nhau rùi >"<
Bài làm
Giả sử a,b,c (a >b >c) là 3 số sao cho $a+b+c =3n+1$ và abc max
ta sẽ cm $a-b \leq 2$
Giả sử $a-b \geq 3$
ta có ta luôn có tích
$(a-1)(b+1) -ab =a-b-1 >0$
$\Rightarrow (a-1)(b+1)c > abc$
Tích mới và tích cũ đều t/m điều kiện và tích mới >tích cũ $\Rightarrow$ vô lý
Tương tự với $b,c$
ta có $a-b \leq 2$
$b-c \leq 2$
Gọi $x$ là số có thể ở giữa $a,b$
$y$ là số có thể ở giữa $b,c$
$\Rightarrow$ với 3 số $a,b,c$ chỉ có 4 dạng
$a .x.b.y.c (1)$
$a.b.y.c (2)$
$a.x.b.c (3)$
$a.b.c (4)$
(2 số liền nhau là 2 số liên tiếp)
ta có $a+b+c$ ở TH1 và th 4 chia hết cho 3 $\Rightarrow$ loại
Còn $a+b+c$ ở th 2 thì $\equiv 2$ mod 3 Loại nốt
nên $a,b,c$ chỉ có dạng $a. x. b. c$ (thử lại thấy thỏa mãn )
thay vào $a+b+c =a+a-2+a-3 =3n+1$
$\Leftrightarrow 3a -5 =3n+1$
$\Leftrightarrow a =n+2$
Vậy $abc$ max khi $a =n+2 , b=n$ và $c =n-1$

[Zaraki]

$\Rightarrow$ với 3 số $a,b,c$ chỉ có 4 dạng
$a .x.b.y.c (1)$
$a.b.y.c (2)$
$a.x.b.c (3)$
$a.b.c (4)$
(2 số liền nhau là 2 số liên tiếp)
ta có $a+b+c$ ở TH1 và th 4 chia hết cho 3 $\Rightarrow$ loại
Còn $a+b+c$ ở th 2 thì $\equiv 2$ mod 3 Loại nốt
nên $a,b,c$ chỉ có dạng $a. x. b. c$ (thử lại thấy thỏa mãn )
thay vào $a+b+c =a+a-2+a-3 =3n+1$
$\Leftrightarrow 3a -5 =3n+1$
$\Leftrightarrow a =n+2$
Vậy $abc$ max khi $a =n+2 , b=n$ và $c =n-1$

Em không hiểu lắm cái chỗ "với ba số $a,b,c$ thì có bốn dạng"
Dạng ở đây là dạng gì thế nhỉ ??