Chủ đề này có 1 trả lời

[b2stfs]

cho a,b,c là các số thực dương.Tìm GTNN của:P=$\sum \frac{a^{2}}{(a+b)^{2}}$

[triethuynhmath]

cho a,b,c là các số thực dương.Tìm GTNN của:P=$\sum \frac{a^{2}}{(a+b)^{2}}$

Ta đưa bất đẳng thức về: $\sum \frac{1}{(1+\frac{b}{a})^2}$
Đặt $x=\frac{b}{a},y=\frac{a}{c},z=\frac{c}{b}\Rightarrow xyz=1$
Ta đưa về tìm Min $\sum \frac{1}{(1+x)^2}$
Ta chứng minh bất đẳng thức sau trước: $\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2} \geq \frac{1}{1+xy}$
Chứng minh bằng Bunhiacopski:
$(1+xy)(1+\frac{x}{y})\geq (1+x)^2\Rightarrow \frac{1}{(1+x)^2} \geq \frac{y}{(x+y)(1+xy)}$
Tương tự rồi cộng lại là ra bất đẳng thức phụ:
Áp dụng: $\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2} \geq \frac{1}{1+xy},\frac{1}{(1+z)^2}+\frac{1}{(1+1)^2}\geq \frac{1}{1+z}\Rightarrow \sum \frac{1}{(1+x)^2}+
\frac{1}{4} \geq \frac{1}{1+\frac{1}{z}}+\frac{1}{1+z}=1\Rightarrow P \geq \frac{3}{4}$
Dấu "=" khi $x=y=z=1$ hay $a=b=c$
Bài này mà mở rộng ra là bài bất đẳng thức thi $VMO-2005$ nhưng lúc này là bậc 3:
Cho $a,b,c >0$ Tìm Min: $A=\sum \frac{a^3}{(a+b)^3}\geq \frac{3}{8}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi triethuynhmath: 18-01-2013 - 21:47