Chủ đề này có 1 trả lời

[NLT]

Cho $x,y,z \in \mathbb{R}$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=9$. Chứng minh rằng: $$2(x+y+z) \le xyz+10$$
___
NLT

[Joker9999]

Cho $x,y,z \in \mathbb{R}$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=9$. Chứng minh rằng: $$2(x+y+z) \le xyz+10$$
___
NLT

Đây là VMO 2002
Lời giải:
Không mất tính tổng quát giả sử $|yz|$ là số nhỏ nhất trong $3$ số $|yz|,|xz|,|xy|$ như vậy $3|yz|\leq |yz|+|xz|+|xy|\leq x^2+y^2+z^2=9\Leftrightarrow |yz|\leq 3$
Áp dụng BDT Cauchy-Schwarz ta có:
\[{\left( {x\left( {2 - yz} \right) + 2\left( {y + z} \right)} \right)^2} \le \left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2yz} \right)\left( {{{\left( {yz} \right)}^2} - 4yz + 8} \right) = \left( {9 + 2yz} \right)\left( {{{\left( {yz} \right)}^2} - 4yz + 8} \right)\]
Cần chứng minh
\[\left( {9 + 2yz} \right)\left( {{{\left( {yz} \right)}^2} - 4yz + 8} \right) \le 100 \Leftrightarrow {\left( {yz + 2} \right)^2}\left( {2yz - 7} \right) \le 0\]
Điều này là hiển nhiên do $|yz|\leq 3\Rightarrow 2yz-7<0$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=2,c=-1$ và các hoán vị

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Joker9999: 22-01-2013 - 18:58