Đến nội dung

Hình ảnh

$SM_{1}+SM_{2}+...+SM_{100}\geq 1000$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
phanquockhanh

phanquockhanh

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 310 Bài viết
Cho 1000 điểm $M_{i},i=\overline{1,1000}$ trên mặt phẳng.Vẽ một đường tròn bán kính 1 tùy ý.chứng minh rằng tồn tại điểm S trên đường tròn sao cho:
$SM_{1}+SM_{2}+...+SM_{100}\geq 1000$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phanquockhanh: 29-01-2013 - 16:16


#2
WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 1323 Bài viết

Cho 1000 điểm $M_{i},i=\overline{1,1000}$ trên mặt phẳng.Vẽ một đường tròn bán kính 1 tùy ý.chứng minh rằng tồn tại điểm S trên đường tròn sao cho:
$SM_{1}+SM_{2}+...+SM_{1000}\geq 1000$

Phải là 1k chứ nhỷ :)
Xét 1 điểm $S$ bất kì trên đường tròn, nếu $SM_{1}+SM_{2}+...+SM_{1000}\geq 1000$ thì hiển nhiên ta có đpcm.
Còn nếu $SM_{1}+SM_{2}+...+SM_{1000}< 1000$. Xét điểm $S'$ sa0 ch0 $SS'$ là đường kính của đường tròn. Nếu $S'M_{1}+S'M_{2}+...+S'M_{1000}\geq 1000$ thì hiển nhiên đúng. Còn nếu $S'M_{1}+S'M_{2}+...+S'M_{1000}< 1000$ áp dụng bất đẳng thức tam giác =)) ta có:
$$2000> SM_{1}+SM_{2}+...+SM_{1000}+S'M_{1}+S'M_{2}+...+S'M_{1000}> 1000SS'=2000$$
1 điều mâu thuẫn ! Chấm dứt chứng minh. Ta luôn có điểm $S$ thỏa mãn đề :)
“There is no way home, home is the way.” - Thich Nhat Hanh




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh