Giả sử $x_1,x_2,x_3,...,x_{n}$ là những số thực thoả mãn
$\left | x_1+x_2+x_3+...+x_n \right |=1$
và $\left | x_i \right |\leq \frac{n+1}{2}$ với i=1,2,3,...,n
Hãy chứng tỏ rằng tồn tại một hoán vị $y_1,y_2,...,y_n$ của $x_1,x_2,...,x_n$
sao cho $\left | y_1+2y_2+...+ny_n \right |\leq \frac{n+1}{2}$
Đầu tiên ta nhận thấy do $y_1,y_2,...,y_n$ là hoán vị của $x_1,x_2,...,x_n$ nên $\left | y_1+y_2+y_3+...+y_n \right |=1$. Xét bất đẳng thức với $n$ số hạng:
$$(y_1+2y_2+...+ny_n)+(y_2+2y_3+...+ny_1)+...+(y_n+2y_1+...+ny_{n-1})= \frac{n(n+1)}{2}( y_1+y_2+y_3+...+y_n)\leq \frac{n(n+1)}{2}$$
Vậy nên tồn tại 1 số hạng tr0ng $n$ số hạng trên $\leq \frac{n+1}{2}$, không mất tính tổng quát ta có thể giả sử đó là $y_1+2y_2+...+ny_n$. Nếu $y_1+2y_2+...+ny_n\geq -\frac{n+1}{2}$ thì hiển nhiên ta có đpcm. Giả sử $y_1+2y_2+...+ny_n<-\frac{n+1}{2} \,\,(1)$, ta xét tổng $2y_1+y_2+...+ny_n$, do $\left | x_i \right |\leq \frac{n+1}{2}$ nên cũng hiển nhiên $-\frac{n+1}{2}\leq y_i\leq \frac{n+1}{2}$ với $i=\overline{1;n}$. Do đó $(y_1+2y_2+...+ny_n)-2y_1+y_2+...+ny_n=y_2-y_1\geq -(n+1)$, suy ra $2y_1+y_2+...+ny_n<(n+1)-\frac{n+1}{2}=\frac{n+1}{2}$.
Nếu $2y_1+y_2+...+ny_n\geq -\frac{n+1}{2}$ thì lại hiển nhiên ta có đpcm. Xét TH xấu hơn là $2y_1+y_2+...+ny_n<-\frac{n+1}{2}$, lúc đó ta lại chứng minh được $3y_1+y_2+2y_3+...+ny_n\leq \frac{n+1}{2}$ bằng cách xét hiệu và để ý $y_2-y_3\geq -(n+1)$.....
Cứ tương tự vậy sau 1 số bước, ta lần lượt phải xét các TH xấu nhất:
$$3y_1+y_2+2y_3+...+ny_n\leq \frac{n+1}{2}$$
$$4y_1+y_2+2y_3+3y_4+-...+ny_n\leq \frac{n+1}{2}$$
$$............$$
$$ny_1+y_2+2y_3+....+(n-1)y_n\leq \frac{n+1}{2}$$
$$............$$
$$ny_1+(n-1)y_2+(n-2)y_3+....+y_n\leq \frac{n+1}{2}$$
Lại lập luận nếu $ny_1+(n-1)y_2+(n-2)y_3+....+y_n\geq -\frac{n+1}{2}$ thì bài toán đúng ! Còn nếu $ny_1+(n-1)y_2+(n-2)y_3+....+y_n<-\frac{n+1}{2}$, ta cộng vế the0 vế bất đẳng thức này với $(1)$ ta có
$$(n+1)(y_1+y_2+...+y_n)<-(n+1)$$
$$\Leftrightarrow y_1+y_2+...+y_n<-1$$
Trái với giả thiết $|y_1+y_2+...+y_n|=1$. Thành thử điều giả sử $(1)$ là sai, ta cũng nhận được đpcm. $\blacksquare$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 15-03-2013 - 20:58
