Chủ đề này có 5 trả lời

[cuong148]

Cho $ A,B\in M_{n}(\mathbb{R})$ không giao hoán
Các số $ q,p,r\in R^* $ thỏa mãn $ pAB+qBA={{I}_{n}} $ và $A^2=rB^2$
Chứng minh rằng $ p=q $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 03-03-2013 - 21:19

[vo van duc]

Cho $ A,B\in {{M}_{ n}}{R} $ không giao hoán
Các số $ q,p,r\in R $ thỏa mãn $ pAB+qBA={{I}_{n}} $ và $A^2=rB^2$

Chứng minh rằng $ p=q $

Ta đặt $M=\begin{pmatrix} pA & qB\\ rB & -A \end{pmatrix}$ và $N=\begin{pmatrix} B & \frac{q}{r}A \\ A & -pB \end{pmatrix}$

Ta có

$MN= \begin{pmatrix} pA & qB\\ rB & -A \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} B & \frac{q}{r}A \\ A & -pB \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} I_{2} & O \\ O & I_{2} \end{pmatrix}$

Suy ra $M$ khả nghịch và $M^{-1}=N$

Suy ra $NM= \begin{pmatrix} B & \frac{q}{r}A \\ A & -pB \end{pmatrix}. \begin{pmatrix} pA & qB\\ rB & -A \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} I_{2} & O \\ O & I_{2} \end{pmatrix}$

Suy ra $pBA+qAB=I_{2}=pAB+qBA \Rightarrow (p-q)(AB-BA) \Rightarrow p=q$

..............
Đây là lời giải mình đọc trên Internet. hi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 11-02-2013 - 10:52

[cuong148]

Ta đặt $M=\begin{pmatrix} pA & qB\\ rB & -A \end{pmatrix}$ và $N=\begin{pmatrix} B & \frac{q}{r}A \\ A & -pB \end{pmatrix}$

Ta có

$MN= \begin{pmatrix} pA & qB\\ rB & -A \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} B & \frac{q}{r}A \\ A & -pB \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} I_{2} & O \\ O & I_{2} \end{pmatrix}$

Suy ra $M$ khả nghịch và $M^{-1}=N$

Suy ra $NM= \begin{pmatrix} B & \frac{q}{r}A \\ A & -pB \end{pmatrix}. \begin{pmatrix} pA & qB\\ rB & -A \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} I_{2} & O \\ O & I_{2} \end{pmatrix}$

Suy ra $pBA+qAB=I_{2}=pAB+qBA \Rightarrow (p-q)(AB-BA) \Rightarrow p=q$

..............
Đây là lời giải mình đọc trên Internet. hi

Hay quá.Nhưng chẳng tự nhiên chút nào..Hi vọng có cách tự nhiên hơn.

[GreatLuke]

có 1 chỗ chưa chặt lắm. xem lại đã

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi GreatLuke: 11-02-2013 - 16:50

[cuong148]

Cho $ A,B\in {{M}_{ n}}{R} $ không giao hoán
Các số $ q,p,r\in R $ thỏa mãn $ pAB+qBA={{I}_{n}} $ và $A^2=rB^2$
Chứng minh rằng $ p=q $

Ta có $ pA{{B}^{2}}+qBAB=B $
Và $ pBAB+q{{B}^{2}}A=B $
$ r{{B}^{2}}A=rA{{B}^{2}}={{A}^{3}} $
Do vậy $ (p-q)(A{{B}^{2}}-BAB)=0 $
Và $ (p-q)({{B}^{2}}A-BAB)=0 $
Nếu $ p\ne q\Rightarrow BAB=A{{B}^{2}}={{B}^{2}}A $
Thay vào ta có $ (p+q){{A}^{2}}{{B}^{2}}=AB $
Và $ (p+q){{B}^{2}}{{A}^{2}}=BA $
Lại có$ {{A}^{2}}=r{{B}^{2}} $
$ \Rightarrow AB=BA $ Trái giả thiết
Vậy $p=q$
(Làm rõ và chỉnh sửa 1 chút từ cách giải trong Putnam-Beyond)Không phải của mình.

[letrongvan]

Ta có $ pA{{B}^{2}}+qBAB=B $
Và $ pBAB+q{{B}^{2}}A=B $
$ r{{B}^{2}}A=rA{{B}^{2}}={{A}^{3}} $
Do vậy $ (p-q)(A{{B}^{2}}-BAB)=0 $
Và $ (p-q)({{B}^{2}}A-BAB)=0 $
Nếu $ p\ne q\Rightarrow BAB=A{{B}^{2}}={{B}^{2}}A $
Thay vào ta có $ (p+q){{A}^{2}}{{B}^{2}}=AB $
Và $ (p+q){{B}^{2}}{{A}^{2}}=BA $
Lại có$ {{A}^{2}}=r{{B}^{2}} $
$ \Rightarrow AB=BA $ Trái giả thiết
Vậy $p=q$
(Làm rõ và chỉnh sửa 1 chút từ cách giải trong Putnam-Beyond)Không phải của mình.

Cách này dễ hiểu hơn cách anh Đức đưa lên
.

Ta đặt $M=\begin{pmatrix} pA & qB\\ rB & -A \end{pmatrix}$ và $N=\begin{pmatrix} B & \frac{q}{r}A \\ A & -pB \end{pmatrix}$

Ta có

$MN= \begin{pmatrix} pA & qB\\ rB & -A \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} B & \frac{q}{r}A \\ A & -pB \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} I_{2} & O \\ O & I_{2} \end{pmatrix}$

Suy ra $M$ khả nghịch và $M^{-1}=N$

Suy ra $NM= \begin{pmatrix} B & \frac{q}{r}A \\ A & -pB \end{pmatrix}. \begin{pmatrix} pA & qB\\ rB & -A \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} I_{2} & O \\ O & I_{2} \end{pmatrix}$

Suy ra $pBA+qAB=I_{2}=pAB+qBA \Rightarrow (p-q)(AB-BA) \Rightarrow p=q$

..............
Đây là lời giải mình đọc trên Internet. hi

Anh lý giải tại sao đặt M, N như vậy được không?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi letrongvan: 27-02-2013 - 00:50