1 reply to this topic

[BlueKnight]

Cho $\Delta ABC$ và hình chữ nhật KPMN nội tiếp $\Delta$ sao cho $K,N\in BC$; $P\in AB$; $M\in AC$. CMR: Diện tích KPMN lớn nhất khi PM chia đôi đường cao $AA^{'}$ của $\Delta ABC$

[mrjackass]

Ta có $S_{KPMN}=KP.PM$ và $2S_{ABC}=AA'.BC$
Dễ thấy $KP//AA'$ và $PM//BC$
Theo định lí Ta-lét: $\frac{KP}{AA'}=\frac{BP}{AB}$ và $\frac{PM}{BC}=\frac{AP}{AB}$
=>$\frac{KP}{AA'}+\frac{PM}{BC}=\frac{BP+AP}{AB}=1$
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:
$1=\frac{KP}{AA'}+\frac{PM}{BC}\geq2\sqrt{\frac{KP.PM}{AA'.BC}}=2\sqrt{\frac{S_{KPMN}}{2S_{ABC}}} \iff 1\geq \frac{2S_{KPMN}}{S_{ABC}}\iff S_{KPMN} \leq \frac{1}{2}S_{ABC}$
Dấu "=" xảy ra $\iff \frac{KP}{AA'}=\frac{PM}{BC}\iff\frac{BP}{AB}=\frac{AP}{AB}\iff BP=AP \iff$ $P$ là trung điểm $AB$ $\iff$ $M$ là trung điểm $AC$
$PM$ là đường trung bình của $\Delta ABC$, theo hệ quả định lý Ta-lét thì $PM$ đi qua trung điểm $AA'$