1 reply to this topic

[believe myself]

cho đường tròn (O) đường kính AB. D là một điểm cố định thuộc AB.từ D kẻ đường thẳng d vuông góc với AB, lấy H thuộc d. gọi P,Q lần lượt là giao điểm của AH,BH với (O). chứng minh PQ luôn đi qua điểm cố định

[BlackSelena]

cho đường tròn (O) đường kính AB. D là một điểm cố định thuộc AB.từ D kẻ đường thẳng d vuông góc với AB, lấy H thuộc d. gọi P,Q lần lượt là giao điểm của AH,BH với (O). chứng minh PQ luôn đi qua điểm cố định

Kéo dài $PQ$ cắt $AB$ tại $K$.
Trước hết, dễ có $HD,AQ,BP$ đồng quy tại $I$ (trên hình mình kí hiệu nhầm $A \equiv H$ nhé, phía trên á).
Vậy theo $\text{Ceva}$, ta có:
$\dfrac{AD}{DB} \cdot \dfrac{BQ}{QA} \cdot \dfrac{PH}{PA} = 1$
$\Rightarrow \dfrac{QB}{QA} \cdot \dfrac{PH}{PA} = \dfrac{DB}{AD}$
Mặt khác, áp dụng định lý $\text{Menelaus}$ vào $\triangle HAB$ với cát tuyến $\overline{PQK}$ thì ta có:
$\dfrac{AK}{BK} \cdot \dfrac{QB}{QA} \cdot \dfrac{PH}{PA} = 1$
$\Rightarrow \dfrac{AK}{BK} = \dfrac{AD}{DB}$
$\Rightarrow \dfrac{AB}{BK} = \dfrac{AD-DB}{DB}$, không đổi do $D$ cố định.
Vậy $BK$ không đối, hay $K$ cố định, đpcm!