Chủ đề này có 7 trả lời

[cuong148]

A là ma trận vuông thực cấp n(với n lẻ) có các tính chất
$A^2=O_n$ hoặc $A^2=I_n$
Chứng minh rằng $det(A+I) \geq det(A-I)$

[GreatLuke]

Nếu $A^{2}=0$ thì $A$ có các giá trị riêng là $0 \Rightarrow A+I$ có các giá trị riêng là $1$, $A-I$ có các trị riêng là $-1$.
.
$\Rightarrow 1=det(A+I) \geq det(A+I)=(-1)^{n}$.

Nếu $A^{2}=I$ thì $A+I$ có các trị riêng là $0$ hoặc $2$, $A-I$ có các trị riêng tương ứng là $-2$ hoặc $0$.

$\Rightarrow det(A+I) \geq det(A-I)$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi GreatLuke: 13-02-2013 - 16:35

[cuong148]

Nếu $A^{2}=0$ thì $A$ có các giá trị riêng là $0 \Rightarrow A+I$ có các giá trị riêng là $1$, $A-I$ có các trị riêng là $-1$.
.
$\Rightarrow 1=det(A+I) \geq det(A+I)=(-1)^{n}$.

Sao từ đây lại suy ra được det(A+I)=1???.A+I là ma trận tam giác trên hay đường chéo???Tại sao kết luận vậy???

[GreatLuke]

định thức của 1 ma trận bằng tích các giá trị riêng mà.

Sao từ đây lại suy ra được det(A+I)=1???.A+I là ma trận tam giác trên hay đường chéo???Tại sao kết luận vậy???

[vo van duc]

Vì $A^{2}=O$ tức là $A$ lũy linh.

Khi đó thì $\det (A+I)=\det I=1$ và $\det (A-I)=\det (-I)=(-1)^{n}=-1$

[cuong148]

định thức của 1 ma trận bằng tích các giá trị riêng mà.

Ừ.Mình quên mất..

[cuong148]

Nếu $A^{2}=0$ thì $A$ có các giá trị riêng là $0 \Rightarrow A+I$ có các giá trị riêng là $1$, $A-I$ có các trị riêng là $-1$.
.
$\Rightarrow 1=det(A+I) \geq det(A+I)=(-1)^{n}$.

Nếu $A^{2}=I$ thì $A+I$ có các trị riêng là $0$ hoặc $2$, $A-I$ có các trị riêng tương ứng là $-2$ hoặc $0$.

$\Rightarrow det(A+I) \geq det(A-I)$.

Không sử dụng dữ kiện n lẻ..khả năng là có chỗ hổng rồi.

[GreatLuke]

Câu 2 có dùng đến $n$ lẻ. Vì lý luận cũng đơn giản nên tớ ngại viết ra =))

Nếu $A+I$ có $n$ giá trị riêng là $2$ thì $A-I$ có $n$ trị riêng là $0 \Rightarrow det(A+I)=2^{n} > 0=det(A-I)$.

Nếu $A+I$ có $n$ trị riêng là $0$ thì $A-I$ có $n$ trị riêng là $ -2 \Rightarrow det(A+I)=0 > (-2)^{n}=det(A-I)$.

Các trường hợp còn lại dễ dàng chứng minh được $det(A+I)=det(A-I)=0$.

Không sử dụng dữ kiện n lẻ. .khả năng là có chỗ hổng rồi.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi GreatLuke: 14-02-2013 - 22:19