Chủ đề này có 1 trả lời

[chinhanh9]

Giải phương trình nghiệm nguyên dương:
$x^{2}-14xy+y^{2}+12= 0$
Bài ni gửi MO mà không được chọn

[WhjteShadow]

Giải phương trình nghiệm nguyên dương:
$x^{2}-14xy+y^{2}+12= 0$
Bài ni gửi MO mà không được chọn

Viết lại phương trình thành:
$$(x-7y)^2-48y^2+12=0$$
Ta nhận thấy $x,y$ phải cùng dấu, vì nếu $x,y$ trái dấu thì $VT> 0=VP$. Không mất tính tổng quát, ta chỉ xét trường hợp $x\geq y\geq 0$
Ta dễ dàng suy ra $(x-7y)^2\vdots 12\Rightarrow x-7y\vdots 6\Rightarrow x-y\vdots 6$. Đặt $x-y=6z$, ($z\geq 0$) ta có:
$$3(z-y)^2-4y^2+1=0$$
$$\Leftrightarrow (2y)^2-3(z-y)^2=1$$
Xét phương trình pell $u^2-3v^2=1$ với $u=2y$, $v=z-y$ ta có nghiệm pt có dạng $(u;v)=(u_k;v_k)$ với $u_k+\sqrt{3}v_k=(2+\sqrt{3})^{k}$. Chúng ta dễ dàng nhận thấy $u_k$ là số chẵn khi và chỉ khi $k$ là số lẻ. Vậy nghiệm của pt pell là $(y;z-y)=\left(\frac{1}{2}u_{2k+1};v_{2k+1}\right)$ với:
$$u_{2k+1}=\frac{(2+\sqrt{3})^{2k+1}+(2-\sqrt{3})^{2k+1}}{2}$$
$$v_{2k+1}=\frac{(2+\sqrt{3})^{2k+1}-(2-\sqrt{3})^{2k+1}}{2}$$
Tóm lại phương trình ban đầu có nghiệm $(x,y)=\left(6v_{2k+1}+\frac{7}{2}u_{2k+1};\frac{1}{2}u_{2k+1}\right)$ với $u;v$ xác định như trên và các hoán vị $\blacksquare$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 15-03-2013 - 20:29