Chủ đề này có 2 trả lời

[barcavodich]

Cho $a,b,c$ là độ dài $3$ cạnh $1$ tam giác
CMR $2[a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(b^2+a^2)]-a^3-b^3-c^3\geq9abc$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi barcavodich: 17-02-2013 - 21:10

[vutuanhien]

Cho $a,b,c$ là độ dài $3$ cạnh $1$ tam giác
CMR $2[a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(b^2+a^2)]-a^3-b^3-c^3\geq9abc$

$2\left [ a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(a^2+b^2) \right ]=2\left [ ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a) \right ]=2(a+b+c)(ab+bc+ca)-6abc$; $a^3+b^3+c^3=(a+b+c)^3-3(a+b+c)(ab+bc+ca)+3abc$. Do đó BĐT đã cho tương đương với $5(a+b+c)(ab+bc+ca)-(a+b+c)^3-18abc\geq 0\Leftrightarrow (3a-b-c)(b-c)^2+(3b-c-a)(c-a)^2+(3c-a-b)(a-b)^2\geq 0$.
Không mất tính TQ, giả sử $a\geq b\geq c\Rightarrow 2b\geq b+c> a\Rightarrow 3b-c-a=(2b-a)+(b-c)> 0$ (1). Ta có $(a-c)^2\geq (a-b)^2+(b-c)^2\Leftrightarrow 2(b-c)(b-a)\leq 0$ (đúng) (2). Từ (1) và (2) suy ra $Sa(b-c)^2+Sb(c-a)^2+Sc(a-b)^2\geq (Sa+Sb)(b-c)^2+(Sb+Sc)(a-b)^2$. Đến đây ta chỉ cần cm $Sa+Sb; Sb+Sc\geq 0$. Điều này hiển nhiên vì a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vutuanhien: 17-02-2013 - 23:02

[barcavodich]

bạn nên đặt $a+b+c=p$,$ab+bc+ca=q$,$abc=r$ để chuyển qua ngôn ngữ $p,q,r$ khá ngắn gọn