Chủ đề này có 11 trả lời

[25 minutes]

Cho $a,b,c$ sao cho $(a,b,c)\in \left [ \frac{1}{3},3 \right ]$
Chứng minh $\frac{8}{5}\geq \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{7}{5}$ ?
Phần tìm Min mình trích trên THTT, còn tìm Max đã cho 1 anh trong VMF chứng minh rồi !!!!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Hoang Anh Arsenal: 19-02-2013 - 15:30

[nthoangcute]

Cho $a,b,c$ sao cho $(a,b,c)\in \left [ \frac{1}{3},3 \right ]$
Chứng minh $\frac{8}{5}\geq \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{7}{5}$ ?
Phần tìm Min mình trích trên THTT, còn tìm Max đã cho 1 anh trong VMF chứng minh rồi !!!!!

Không mất tinh tổng quát, giả sử $a=\max \{a,b,c\}$
Nếu $b \geq c$
Xét hàm số $$f(a)=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}$$
$$f'(a)=\frac{(b-c)(a^2-bc)}{(a+b)^2(a+c)^2} \geq 0$$
Suy ra $f(a)$ đồng biến
Suy ra $f(a) \leq f(3)$
Xét $$g( c )= f(3)= \frac{3}{3+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{3+c}$$
$$g'( c )=\frac{(b-3)(3b-c^2)}{(b+c)^2(c+3)^2} \leq 0$$
Suy ra $g( c )$ nghịch biến
Suy ra $g( c ) \leq g(\frac{1}{3})$
$$h(b)=g(\frac{1}{3})=\frac{33b^2+190b+33}{10(b+3)(3b+1)}$$
$$h'(b)=\frac{-24(b-1)(b+1)}{(3+b)^2(3b+1)^2}$$
Suy a $$h(b) \leq h(1)=\frac{8}{5}$$
Suy ra $$\frac{8}{5}\geq \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}$$
Dấu bằng khi $(a,b,c)=(3,1,1/3)$
Nếu $c \geq b$
Thì $f(a)$ nghịch biến
Suy ra $f(a) \geq f(3)$
$$g_1( b )=f(3)=\frac{3}{3+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{3+c}$$
$$g_1'(b)=\frac{(c-3)(3c-b^2)}{(b+c)^2(b+3)^2} \geq 0$$
$$g_1( b ) \geq g(\frac{1}{3})$$
$$h_1(c)=g(\frac{1}{3})=\frac{57c^2+110c+57}{10(c+3)(3c+1)}=\frac{(c-1)^2}{2(c+3)(3c+1)}+\frac{7}{5}$$
Xong chưa anh Bình ?
___________
OK?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 21-02-2013 - 22:33

[dtvanbinh]

Xong cái gì mà xong,phần Min em làm sai rồi,anh bảo từ tối quá không nghe
$f(3,\frac{1}{3},1)=\frac{8}{5}$
chả hiểu sao em phân tích được $g(\frac{1}{3})$ thế kia nữa
dự là phải mang sang box olympic
Mà bạn có thể trích nguồn được không,mình thấy lạ lắm
có đánh giá $\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{3}{2}$ trên $[0,\sim ]$
nên sao lại có $Min=\frac{7}{5}$ trên $[\frac{1}{3},3]$ được nhỉ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dtvanbinh: 22-02-2013 - 09:28

[25 minutes]

Xong cái gì mà xong,phần Min em làm sai rồi,anh bảo từ tối quá không nghe
$f(3,\frac{1}{3},1)=\frac{8}{5}$
chả hiểu sao em phân tích được $g(\frac{1}{3})$ thế kia nữa
dự là phải mang sang box olympic
Mà bạn có thể trích nguồn được không,mình thấy lạ lắm
có đánh giá $\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{3}{2}$ trên $[0,\sim ]$
nên sao lại có $Min=\frac{7}{5}$ trên $[\frac{1}{3},3]$ được nhỉ

Không ai chứng minh được $\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a} \geq \frac{3}{2}$ đâu anh ạ ?

[dtvanbinh]

Không ai chứng minh được $\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a} \geq \frac{3}{2}$ đâu anh ạ ?

mình làm tiếp luôn bài cu việt nhé
$c\geq b$ $b,c\leq 3$
nên $g_{1}'(b)\leq 0$
nên $g_{1}(b)\geq g_{1}(3)=\frac{3}{2}$

[viet 1846]

mình làm tiếp luôn bài cu việt nhé
$c\geq b$ $b,c\leq 3$
nên $g_{1}'(b)\leq 0$
nên $g_{1}(b)\geq g_{1}(3)=\frac{3}{2}$

Đáng giá này không phải là $nesbitt$ đâu anh. BĐT này không đúng.

[nthoangcute]

Xong cái gì mà xong,phần Min em làm sai rồi,anh bảo từ tối quá không nghe
$f(3,\frac{1}{3},1)=\frac{8}{5}$
chả hiểu sao em phân tích được $g(\frac{1}{3})$ thế kia nữa
dự là phải mang sang box olympic
Mà bạn có thể trích nguồn được không,mình thấy lạ lắm
có đánh giá $\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{3}{2}$ trên $[0,\sim ]$
nên sao lại có $Min=\frac{7}{5}$ trên $[\frac{1}{3},3]$ được nhỉ

Nói mãi anh không hiểu !!!
Cái $g(\frac{1}{3})$ đúng rồi đó anh à ... Anh thử chưa ???

[dtvanbinh]

Nói mãi anh không hiểu !!!
Cái $g(\frac{1}{3})$ đúng rồi đó anh à ... Anh thử chưa ???

không phải $g(\frac{1}{3})$ mà là $g(3)$ em ạ

[dtvanbinh]

Đáng giá này không phải là $nesbitt$ đâu anh. BĐT này không đúng.

ừ anh biết không phải nesbit,nhưng a dùng hàm số thì nó là nesbit hay không không quan trọng.anh thấy bạn hoàng anh bảo trích từ THTT nên băn khoăn

[nthoangcute]

không phải $g(\frac{1}{3})$ mà là $g(3)$ em ạ

Hàm đấy nghịch biến mà anh, vì thế nên mới là $g(\frac{1}{3})$

[Sagittarius912]

mình làm tiếp luôn bài cu việt nhé
$c\geq b$ $b,c\leq 3$
nên $g_{1}'(b)\leq 0$
nên $g_{1}(b)\geq g_{1}(3)=\frac{3}{2}$

Đánh giá này của anh không đúng đâu. Thử với các trường hợp $ a \ge c \ge b$ hoặc $ c \ge b \ge a$ đi

[WhjteShadow]

Cho $a,b,c$ sao cho $(a,b,c)\in \left [ \frac{1}{3},3 \right ]$
Chứng minh $\frac{8}{5}\geq \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{7}{5}$ ?
Phần tìm Min mình trích trên THTT, còn tìm Max đã cho 1 anh trong VMF chứng minh rồi !!!!!

 

 

Đánh giá này của anh không đúng đâu. Thử với các trường hợp $ a \ge c \ge b$ hoặc $ c \ge b \ge a$ đi

Gợi ý: Đặt $\sqrt{\frac{b}{a}}=x,\sqrt{\frac{c}{b}}=y,\sqrt{\frac{a}{c}}=z$ ta có $xyz=1, x,y,z\in \left[\frac{1}{3};3\right]$. Ta cần chứng minh:

$$\frac{8}{5}\geq \frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}+\frac{1}{1+z^2}\geq \frac{7}{5}$$

Do vai trò các biến như nhau, không mất tính tổng quát ta giả sử $x\geq y\geq z$, lúc đó $xy\geq 1\geq yz$, ta dễ dàng có:

$$\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\geq \frac{2}{1+xy}=\frac{2z}{z+1}$$

$$\frac{1}{1+y^2}+\frac{1}{1+z^2}\leq \frac{2}{1+yz}=\frac{2x}{x+1}$$

Từ đó đưa cả 2 vế của bđt đã ch0 về 1 biến và KSHS thôi