Chủ đề này có 7 trả lời

[vinh1712]

Cho a,b,c dương Tìm MIn
$\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}$

[Oral1020]

Bạn xem tại đây nè: http://diendantoanho...ant-frac3sqrt2/

[dtvanbinh]

bài này mình thử giải bằng hàm số xem sao,hơi dài 1 tí
chuẩn hóa $a+b+c=2$ giả sử $a\leq b\leq c$
Ta có VT=$\sum \sqrt{_{\tfrac{a}{2-a}}}$=$f(c)$
xét $f(x)=\sqrt{\tfrac{x}{2-x}}$
$f(x)^{2}=\frac{a}{2-a}$ nên $f'(x)=\frac{1}{(2-a)^{2}}.\sqrt{\frac{2-a}{a}} > 0$
nên $f(c)\geq f(b)$
vậy bài toán trở thành tìm Min của $\sqrt{\frac{a}{2-a}}+2\sqrt{\frac{b}{2-b}}$ với a+2b=2
giả sử $a\leq b$
VT=$g(b)=\sqrt{\frac{1-b}{b}}+2\sqrt{\frac{b}{2-b}}$ với $0\leq b\leq 1$
$g'(b)=\frac{-1}{2b^{2}}\sqrt{\frac{b}{1-b}}+\frac{2}{(2-b)^{2}}\sqrt{\frac{2-b}{b}}$
xét tử số của g'(b) $4b\sqrt{(1-b)(2-b)}-(b-2)^{2}$=h(b)
Ta có $h'(b)=4\sqrt{(1-b)(2-b)}+4b\frac{2b-3}{\sqrt{(1-b)(2-b)}}-2(b-2)$
xét tiếp tử số của thằng này =$6b^{2}-12b+4-(b-2)\sqrt{(1-b)(2-b)}$ ta sẽ đichứnh minh nó âm
thật vậy $6b^{2}-12b+4\leq (b-2)\sqrt{(1-b)(2-b)}$ tương đương với
$6b+\frac{4}{b-2}\geq \sqrt{(1-b(2-b))}$ vì $b-2\leq 0$ (1)

tương đương với $35b^{2}+3b+\frac{16}{(b-2)^{2}}+\frac{96}{b-2}+46\geq 0$
đặt $t=\frac{1}{2-b}$ $\frac{1}{2}\leq t\leq 1 p(t)=16t^{2}-96t+46$ nghịch biến
nên ta có VT(1)$\geq 38+p(1)=4>0$
như vậy $h'(b)\leq 0$ nên $g'(b)\leq 0$ nên $g(b)\leq g(1)$
nên $g(b)$ nghịch biến trên (0,1)
nên $g(b)\geq g(1)=2$
Vậy $Min=2$ dấu bằng xảy ra tại a=0,b=c và các hoán vị

[vinh1712]

bài này mình thử giải bằng hàm số xem sao,hơi dài 1 tí
chuẩn hóa $a+b+c=2$ giả sử $a\leq b\leq c$
Ta có VT=$\sum \sqrt{_{\tfrac{a}{2-a}}}$=$f©$
xét $f(x)=\sqrt{\tfrac{x}{2-x}}$
$f(x)^{2}=\frac{a}{2-a}$ nên $f'(x)=\frac{1}{(2-a)^{2}}.\sqrt{\frac{2-a}{a}} > 0$
nên $f©\geq f(b)$
vậy bài toán trở thành tìm Min của $\sqrt{\frac{a}{2-a}}+2\sqrt{\frac{b}{2-b}}$ với a+2b=2
giả sử $a\leq b$
VT=$g(b)=\sqrt{\frac{1-b}{b}}+2\sqrt{\frac{b}{2-b}}$ với $0\leq b\leq 1$
$g'(b)=\frac{-1}{2b^{2}}\sqrt{\frac{b}{1-b}}+\frac{2}{(2-b)^{2}}\sqrt{\frac{2-b}{b}}$
xét tử số của g'(b) $4b\sqrt{(1-b)(2-b)}-(b-2)^{2}$=h(b)
Ta có $h'(b)=4\sqrt{(1-b)(2-b)}+4b\frac{2b-3}{\sqrt{(1-b)(2-b)}}-2(b-2)$
xét tiếp tử số của thằng này =$6b^{2}-12b+4-(b-2)\sqrt{(1-b)(2-b)}$ ta sẽ đichứnh minh nó âm
thật vậy $6b^{2}-12b+4\leq (b-2)\sqrt{(1-b)(2-b)}$ tương đương với
$6b+\frac{4}{b-2}\geq \sqrt{(1-b(2-b))}$ vì $b-2\leq 0$ (1)

tương đương với $35b^{2}+3b+\frac{16}{(b-2)^{2}}+\frac{96}{b-2}+46\geq 0$
đặt $t=\frac{1}{2-b}$ $\frac{1}{2}\leq t\leq 1 p(t)=16t^{2}-96t+46$ nghịch biến
nên ta có VT(1)$\geq 38+p(1)=4>0$
như vậy $h'(b)\leq 0$ nên $g'(b)\leq 0$ nên $g(b)\leq g(1)$
nên $g(b)$ nghịch biến trên (0,1)
nên $g(b)\geq g(1)=2$
Vậy $Min=2$ dấu bằng xảy ra tại a=0,b=c và các hoán vị

thực ra là min = $\frac{3}{}\sqrt{2}$

[dtvanbinh]

thực ra là min = $\frac{3}{}\sqrt{2}$

$\frac{3}{\sqrt{2}} \geq 2$
bạn xem lại nhé

[dark templar]

Thực ra đối với BĐT này thì 2 đã là chặn dưới tốt nhất.Một cách tổng quát :
\[{\left( {\frac{a}{{b + c}}} \right)^k} + {\left( {\frac{b}{{c + a}}} \right)^k} + {\left( {\frac{c}{{a + b}}} \right)^k} \ge \min \left\{ {2;\frac{3}{{{2^k}}}} \right\} \quad (k>0)\]

[vinh1712]

$\frac{3}{\sqrt{2}} \geq 2$
bạn xem lại nhé

bài này cho a,b,c dương
làm sao dấu bằng xảy ra khi a=0, b=c được

[dtvanbinh]

bài này cho a,b,c dương
làm sao dấu bằng xảy ra khi a=0, b=c được

thế mình chịu rồi

Thực ra đối với BĐT này thì 2 đã là chặn dưới tốt nhất.Một cách tổng quát :
\[{\left( {\frac{a}{{b + c}}} \right)^k} + {\left( {\frac{b}{{c + a}}} \right)^k} + {\left( {\frac{c}{{a + b}}} \right)^k} \ge \min \left\{ {2;\frac{3}{{{2^k}}}} \right\} \quad (k>0)\]

anh gửi em lời giải bài tổng quát này được không,không thích cách giải của anh hùng lắm

@Dark templar:Lời giải bằng dồn biến dài quá,anh nhác gõ.Phác thảo sơ qua các bước làm :

• Chuẩn hóa $a+b+c=1$ và giả sử $b \ge c \ge a$.Đặt $t=\frac{b+c}{2};m=\frac{b-c}{2}$.
• Khảo sát hàm $f(m)$ trên $[0;3t-1]$ với $t \in \left[\frac{1}{3};\frac{1}{2} \right]$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 20-02-2013 - 17:34