Chủ đề này có 2 trả lời

[VNSTaipro]

Cho $(a_{n})$ thỏa $\left\{\begin{matrix}
a_{1}=1\\a_{n+1}=a_{n}+\frac{1}{a_{n}}
\end{matrix}\right.$
Chứng minh $\lim \frac{a_{n}}{\sqrt{n}}=\sqrt{2}$

[Sagittarius912]

Cho $(a_{n})$ thỏa $\left\{\begin{matrix}
a_{1}=1\\a_{n+1}=a_{n}+\frac{1}{a_{n}}
\end{matrix}\right.$
Chứng minh $\lim \frac{a_{n}}{\sqrt{n}}=\sqrt{2}$

Dễ thấy $a_{n}$ > 0
Xét

$a_{n+1}-a_{n}=(a_{n}+\frac{1}{a_{n}})-a_{n}=\frac{1}{a_{n}}>0$

suy ra $a_{n}$ là dãy tăng
Giả sư $a_{n}$ có giới hạn hữu hạn. đặt nó là a. chuyển qua phương trình giới hạn ta có

$a=a+\frac{1}{a}\Rightarrow \frac{1}{a}=0$ (vô lí)

Do đó

$\lim_{n\rightarrow +\infty}a_{n}=+\infty$

Xét

$\frac{a_{n+1}^{2}-a_{n}^{2}}{(n+1)-n}=\frac{(a_{n}+\frac{1}{a_{n}})^{2}-a_{n}^{2}}{1}=\frac{1}{a_{n}^{2}}+2$

$\Rightarrow \lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{a_{n+1}^{2}-a_{n}^{2}}{(n+1)-n}=\lim_{n\rightarrow +\infty} (\frac{1}{a_{n}}^{2}+2)=2$

Mặt khác do

$\lim_{n\rightarrow +\infty}n=+\infty$

nên theo định lí Stolz ta có

$\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{a_{n}^{2}}{n}=2\Rightarrow \lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{a_{n}}{\sqrt{n}}=\sqrt{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doandat97: 23-02-2013 - 13:46

[dark templar]

Cho $(a_{n})$ thỏa $\left\{\begin{matrix}
a_{1}=1\\a_{n+1}=a_{n}+\frac{1}{a_{n}}
\end{matrix}\right.$
Chứng minh $\lim \frac{a_{n}}{\sqrt{n}}=\sqrt{2}$

Tham khảo thêm 1 cách nữa là xài nguyên lý kẹp giới hạn ở đây và bài tổng quát.