Chủ đề này có 1 trả lời

[LNH]

Giúp mình bài này với
Tìm số tự nhiên n sao cho
$\varphi ({{n}^{2}}+1)=6n$

[Karl Heinrich Marx]

Giúp mình bài này với
Tìm số tự nhiên n sao cho
$\varphi ({{n}^{2}}+1)=6n$

Xét $n=1$ thì không thỏa mãn rồi.

Ta nhận thấy rằng nếu $p$ là một ước nguyên tố của $n$ và $n=kp$ với $k > 6$ thì không thỏa mãn. Vì khi đó có ít nhất $k^2p>6n$ số nguyên tố cùng nhau với $n^2+1$ là $p,2p,..,k^2p^2$. Mâu thuẫn!

Với $n>1$ thì $n^2+1$ phải có ước nguyên tố lẻ và ước nguyên tố này phải có dạng $4k+1$.

Xét $n=8$ thử vào thấy thỏa mãn.

Xét $n \ne 8$ thì nếu $n^2+1$ có 2 ước nguyên tố lẻ dẫn đến $ \varphi(n^2+1) \vdots 16 \Rightarrow 6n \vdots 16 \Rightarrow n \vdots 8$. Mà $n \ne 8$ nên tồn tại một ước nguyên tố $q$ để $n=mq, m \ge 8$, mâu thuẫn với nhận xét trên.

Vậy $n^2+1$ chỉ có một ước nguyên tố lẻ và $n$ là số chẵn.Ta có luôn $n^2+1=p$ với $p$ nguyên tố, suy ra $6n=p-1$

Trường hợp này cho ta $n=6$

Có 2 giá trị thỏa mãn là 6 và 8.