Chủ đề này có 2 trả lời

[WhjteShadow]

Bài toán 1.
Cho các số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng: $$a. \sqrt[3]{a+b}+b. \sqrt[3]{b+c}+c. \sqrt[3]{c+a} \ge 3 \sqrt[3]{2}$$
Bài toán 2.
Chứng minh với $a,b$ dương có tổng bằng 2 ta luôn có:
a) $$a^ab^b+3ab\leq 4$$
b) $$a^bb^a+2\geq 3ab$$

[Sagittarius912]

Chứng minh với $a,b$ dương có tổng bằng 2 ta luôn có:
a) $$a^ab^b+3ab\leq 4$$

Sử dụng BDT AM-GM suy rộng:

$\frac{a}{a+b}.a+\frac{b}{a+b}.b\ge a^\frac{a}{a+b}b^\frac{b}{a+b}$ (*)

Mà $a+b=2$ nên

$(*)\Leftrightarrow \frac{a^2+b^2}{2}\ge a^\frac{a}{2}b^\frac{b}{2}$

$\Rightarrow a^ab^b\le(\frac{a^2+b^2}{2})^2=(2-ab)^2$

$\Rightarrow a^ab^b+3ab-4\le(2-ab)^2+3ab-4=ab(ab-1)\le 0$ ( do $ab \le \frac{(a+b)^2}{4}$ )

$\Rightarrow a^ab^b+3ab \le 4$

Dấu đẳng thức xảy ra khi $a=b=1$

-----------

(1,1) chứ nhỷ ~.~

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doandat97: 09-03-2013 - 23:13

[ilovelife]

Bài toán 1.
Cho các số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng: $$a. \sqrt[3]{a+b}+b. \sqrt[3]{b+c}+c. \sqrt[3]{c+a} \ge 3 \sqrt[3]{2}$$

Đầu bài làm ta nghĩ đến đánh giá $a.\sqrt[3]{a+b} \ge 3\sqrt[3]{2}\cdot f(a,b)$

Áp dụng AM-GM: $\sqrt[3]{a+b}=3\sqrt[3]{2}\cdot \frac {a+b}{3\sqrt[3]{2(a+b)(a+b)}}\ge 3\sqrt[3]{2}\cdot \frac {a+b}{2+2a+2b}$

Ta cần chứng minh: $\sum a.\frac {a+b}{2(a+b+1)} \ge 1$ hay $\sum a.\frac {a+b}{a+b+1} \ge 2 \, (1)$

Có: $(1) \iff \sum \left (a-a.\frac {a+b}{a+b+1}\right ) = \sum \frac{a}{a+b+1} \le 1$

$\iff \frac 13 \sum \frac{a}{a+b+1} =\sum \frac{a}{4a+4b+c} \le \frac 13$ (đây là bất đẳng thức đầu tiên trong cuốn dồn biến cổ điển VQBC)

$\iff \sum \frac a{3-c} \le 1 \iff a^2b+b^2c+c^2a+abc \le 4$

WLOG: b nằm giữa a và c, khi đó: $c(b-a)(b-c) \le 0 \implies b^2c+c^2a \le abc+bc^2$

$\implies a^2b+b^2c+c^2a+abc \le b(a+c)^2 = b \cdot (3-b)^2 \le 4 \implies Q.E.D$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ilovelife: 24-03-2013 - 17:15