Đề của BTC
Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$, có cạnh đáy bằng $a$. Góc giữa hai mặt bên kề nhau bằng $\alpha$. Hãy tính thể tích khối chóp theo $a$ và $\alpha$
BÀI GIẢI:Cách 1:
Dựng hệ trục $Oxyz$ trong đó $O=AC\cap BD, A(\frac{a}{\sqrt{2}};0;0),B(0;\frac{a}{\sqrt{2}};0),C(\frac{-a}{\sqrt{2}};0;0),D(0;\frac{-a}{\sqrt{2}};0),S(0;0;h)$ ,$h>0$
$ \to V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}SO.S_{ABCD}=\frac{a^2h}{3}$
$\underset{SB}{\rightarrow} = (0;\frac{a}{\sqrt{2}};-h),\underset{SA}{\rightarrow} = (\frac{a}{\sqrt{2}};0;-h),\underset{SC}{\rightarrow} = (\frac{-a}{\sqrt{2}};0;-h)$
Vecto pháp tuyến của $(SAB),(SBC)$ lần lượt là $\underset{n_{1}}{\rightarrow}=[\underset{SA}{\rightarrow},\underset{SB}{\rightarrow} ]=\frac{a}{\sqrt{2}}(h;h;\frac{a}{\sqrt{2}}),\underset{n_{2}}{\rightarrow}=[\underset{SB}{\rightarrow},\underset{SC}{\rightarrow} ]=\frac{a}{\sqrt{2}}(-h;h;\frac{a}{\sqrt{2}}).$
Ta có: $cos\alpha =cos((SABC),(SBC))=\frac{|\underset{n_{1}}{\rightarrow}.\underset{n_{2}}{\rightarrow}|}{|\underset{n_{1}}{\rightarrow}|.|\underset{n_{2}}{\rightarrow}|}=\frac{a^2}{4h^2+a^2}\to h=\frac{a}{2}\sqrt{\frac{1}{cos\alpha }-1}$
$\to V_{S.ABCD}=\frac{a^3.sin\frac{\alpha }{2}}{3\sqrt{2cos\alpha }}$
Cách 2:
Gọi M là hình chiếu của A lên SB. Vì $S.ABCD$ đều nên M cũng là hình chiếu của C lên SB và $MA=MC$.
$\to ((SAB),(SBC))=AMC=180-\alpha$
$\left\{\begin{matrix}AM\perp SB\\CM\perp SB\end{matrix}\right.\to OM\perp SB$
Vì O là trung điểm cạnh AC nên góc$OMC=\frac{180-\alpha }{2}$$\to OM=OC.tan\frac{\alpha }{2}=\frac{a.tan\frac{\alpha }{2}}{\sqrt{2}}$
Xét tam giác vuông tại O có đường cao OM:$\frac{1}{OM^2}=\frac{1}{OS^2}+\frac{1}{OB^2}\to SO=\frac{OM.OB}{\sqrt{OB^2-OM^2}}=\frac{a.sin\frac{\alpha }{2}}{3\sqrt{2cos\alpha }}$
$\to V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}SO.S_{ABCD}=\frac{a^3sin\frac{\alpha }{2}}{3\sqrt{2cos\alpha }}$
P/s: em lấy bài này ah!!
Điểm bài: 10
Điểm thưởng: 8 (cách làm thứ 2 thiếu chứng minh $\widehat{AMC}=180-\alpha$
S = 25 + 3*10+8 = 63
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 29-03-2013 - 22:08
Chấm điểm