Chủ đề này có 1 trả lời

[ngovtbx]

Tìm hàm số $ f: R \to R $. t/m
$(x+y)(f(x)-f(y))=(x-y)f(x+y)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngovtbx: 19-03-2013 - 06:06

[Idie9xx]

Tìm hàm số $ f: R \to R $. t/m
$(x+y)(f(x)-f(y))=(x-y)f(x+y)$

Đặt $f(x)=x \cdot g(x)$

Ta được $x\cdot g(x)-y\cdot g(y)=(x-y)\cdot g(x+y)$

Thêm biến $z$ vào sao cho $x+z=2,y+z=1$ và cho $u=x+y$ ta có :

$$g(u)=g(x+y)=(x-y) \cdot g(x+y) =x\cdot g(x)-y\cdot g(y)$$

$$=(x\cdot g(x)-z\cdot g(z))+(z\cdot g(z)-y\cdot g(y))$$

$$=(x-z)\cdot g(x+z)+(z-y)\cdot g(z+y)=(u-1) \cdot g(2) +(2-u) \cdot g(1)$$

Cố định $g(1),g(2)$ ta được $g(x)=ax+b$

Vậy các hàm thỏa mãn là $f(x)=a x^2 +bx$