Chủ đề này có 2 trả lời

[hungpronc1]

cho số dương a,b thoả mãn: ab+a+b=3 tìm min: P=$\frac{4a}{b+1}+\frac{4b}{a+1}+2ab-\sqrt{7-3ab}$

[trauvang97]

cho số dương a,b thoả mãn: ab+a+b=3 tìm min: P=$\frac{4a}{b+1}+\frac{4b}{a+1}+2ab-\sqrt{7-3ab}$

Từ giả thiết ta có $\left ( a+1 \right )\left ( b+1 \right )=4$. Khi đó: $\frac{4a}{b+1}+\frac{4b}{a+1}=a\left ( a+1 \right )+b\left ( b+1 \right )=a^{2}+a+b^{2}+b$. Do đó:

 

             $P = a^{2}+a+b^{2}+b+2ab+\sqrt{7-3ab}$

 

Mặt khác, theo bất đẳng thức Cauchy ta có: $a^{2}\geq 2a-1, b^{2}\geq 2b-1$.

 

Khi đó: $P\geq 3a+3b+2ab-2-\sqrt{7-3ab}=7-ab-\sqrt{7-3ab}$

 

Lại có: $\sqrt{7-3ab}=\frac{1}{2}\sqrt{4\left ( 7-3ab \right )}\leq \frac{1}{4}\left ( 11-3ab \right )$

 

Suy ra: $P\geq 7-ab-\frac{1}{4}\left ( 11-3ab \right )=\frac{17}{4}-\frac{1}{4}ab$

 

Từ $4=\left ( a+1 \right )\left ( b+1 \right )\geq 4\sqrt{ab}$ hay $\sqrt{ab}\leq 1$.

 

Do đó $P\geq \frac{17}{4}-\frac{1}{4}=4$

Vậy $P$ đạt giá trị nhỏ nhất là $4$ khi và chỉ khi $a=b=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trauvang97: 06-04-2013 - 20:06

[congson21598]

đặt a+b=t(t$\geq 2$                     (x+1)(y+1)=4

Ta có: ab=3-t

BTVT: S=4$\frac{x^{2}+y^{2}+x+y}{(x+1)(y+1)}+2xy-\sqrt{7-3xy}$

$=(x+y)^{2}+x+y-\sqrt{7-3(3-x-y)}$

$S=t^{2}+t-\sqrt{3t-2}$=f(t)

Ta có: f'(t) =$2t+1-\frac{3}{2\sqrt{3t-2}}>2t+1-\frac{3}{4}> 0$

Nên f(t) đồng biến

f(t)$\geq$f(2)=4

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi congson21598: 16-07-2014 - 17:36