Đến nội dung

Hình ảnh

1.CM: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc< 2$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
Phanh

Phanh

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 220 Bài viết
Cho a,b,c là ba cạnh của tam giác.
1.CM: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc< 2$ với a+b+c=2
2.CM :$\sum \frac{a^{2}+2bc}{b^{2}+c^{2}}> 3$
3.CM: $\frac{a^{4}}{b+c}+\frac{b^{4}}{c+a}+\frac{c^{4}}{a+b}< 2(a^{2}c+b^{2}a+c^{2}b)$ với $a\leq b\leq c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phanh: 22-03-2013 - 21:46


#2
Dung Dang Do

Dung Dang Do

    Dũng Dang Dở

  • Thành viên
  • 524 Bài viết

Cho a,b,c là ba cạnh của tam giác.
1.CM: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc< 2$

Thiếu chu vi bằng 2
@@@@@@@@@@@@

#3
Oral1020

Oral1020

    Thịnh To Tướng

  • Thành viên
  • 1225 Bài viết
Bài 2:Thiếu điều kiện $a,b,c \ge 0$ và không có hai số nào đồng thời bằng không và dấu bất đẳng thức phải là dấu bằng:
Lời giải:
Theo $C-S$,ta có:
$\sum \dfrac{a}{b+c} \ge \dfrac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ac)}$
và $\sum \dfrac{a^2}{b^2+c^2}-\sum \dfrac{a}{b+c} =\sum \dfrac{ab(a-b)-ca(c-a)}{(b^2+c^2)(b+c)}=\sum [\dfrac{ab(a-b)}{(b^2+c^2)(b+c)}-\dfrac{ab(a-b)}{(a^2+b^2)(a+c)}]$
$=(\sum a^2+\sum ab)\sum \dfrac{ab(c-b)^2}{(a+c)(b+c)(a^2+c^2)(b^2+c^2)}$
$\Longrightarrow \sum \dfrac{a^2}{b^2+c^2} \ge \dfrac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ac)}=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{2(ab+bc+ac)}+1$
Dễ thấy $\sum \dfrac{2bc}{b^2+c^2} \ge \dfrac{2(ab+bc+ac)}{a^2+b^2+c^2}$
Ta sẽ chứng minh $\dfrac{a^2+b^2+c^2}{2(ab+bc+ac)}+\dfrac{2(ab+bc+ac)}{a^2+b^2+c^2} \ge 2$ (AM-GM)
Dấu $=$ xảy ra khi $a=0;b=c$ và các hoán vị

"If I feel unhappy,I do mathematics to become happy.


If I feel happy,I do mathematics to keep happy."

Alfréd Rényi

Hình đã gửi


#4
nguyencuong123

nguyencuong123

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 587 Bài viết

Cho a,b,c là ba cạnh của tam giác.
1.CM: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc< 2$ với a+b+c=2
2.CM :$\sum \frac{a^{2}+2bc}{b^{2}+c^{2}}> 3$
3.CM: $\frac{a^{4}}{b+c}+\frac{b^{4}}{c+a}+\frac{c^{4}}{a+b}< 2(a^{2}c+b^{2}a+c^{2}b)$ với $a\leq b\leq c$

1.Nếu có chu vi bằng 2 thì $a+b+c=2 \geq 2a\Rightarrow \sum a\leq 1\Rightarrow \left ( 1-a \right )\left ( 1-b \right )\left ( 1-c \right )\geq 0\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc \leq 2$
xIN LỖI DẤU BẰNG KÔ XẢY RA (like MÌNH CÁI)


    :icon12:  :icon12:  :icon12:   Bình minh tắt nắng trời vương vấn :icon12:  :icon12:  :icon12:       

      :icon12: Một cõi chơi vơi, ta với ta  :icon12:       

:nav: My Facebook  :nav:  

 


#5
Oral1020

Oral1020

    Thịnh To Tướng

  • Thành viên
  • 1225 Bài viết

Cho a,b,c là ba cạnh của tam giác.
1.CM: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc< 2$ với a+b+c=2
 

Bạn xem tại đây


"If I feel unhappy,I do mathematics to become happy.


If I feel happy,I do mathematics to keep happy."

Alfréd Rényi

Hình đã gửi





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh