Chủ đề này có 1 trả lời

[Strygwyr]

Cho các số dương a,b,c thoả mãn a+b+c = 3. Chứng minh rằng :$\sum \frac{a^{2}+bc}{b+ca}\geq 3$

[Sagittarius912]

Cho các số dương a,b,c thoả mãn a+b+c = 3. Chứng minh rằng :$\sum \frac{a^{2}+bc}{b+ca}\geq 3$

BĐt tương đương

 

$\sum \frac{a^2+bc}{3b+3ac}\ge1$

 

$\Leftrightarrow \sum \frac{a^2+bc}{b^2+ab+bc+ac+2ac}\ge1$

Theo Am_GM

 

$2ac \le a^2+c^2$

$2bc \le b^2+c^2$

$2ab \le a^2+b^2$

 

$\Rightarrow \sum \frac{a^2+bc}{b^2+ab+bc+ac+2ac}\ge \sum \frac{a^2+bc}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}=1$

 

$\Rightarrow$ dpcm

 

Dấu đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$