Chủ đề này có 1 trả lời

[bongtuyet]

$U_{1}=\frac{1}{2}$

$U_{n}=\frac{2n-3}{2n}U_{n-1}$

Chứng minh rằng   :$U_{1}+ U_{2}+...+U_{n}<1$    với mọi n.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 27-03-2013 - 18:26

[dark templar]

$U_{1}=\frac{1}{2}$

$U_{n}=\frac{2n-3}{2n}U_{n-1}$

Chứng minh rằng   :$U_{1}+ U_{2}+...+U_{n}<1$    với mọi n.

Đặt $v_{n}=2nu_{n}$ thì ta có công thức truy hồi của dãy $\{v_{n} \}_{n \ge 1}$ là $v_{n}=v_{n-1}-u_{n-1}$ và $v_1=2u_1=1$. Dễ thấy là dãy $\{v_{n} \}_{1}^{\infty}$ là dãy dương.

 

Từ đó :

\[\sum\limits_{k = 1}^n {{u_k}}  = \sum\limits_{k = 1}^n {\left( {{v_k} - {v_{k + 1}}} \right)}  = {v_1} - {v_{n + 1}} < {v_1} = 1\]