Gọi $x_{n}$ là nghiệm của phương trình $\frac{1}{x}+\frac{1}{x-1}+...+\frac{1}{x-n}$= 0 trên (0;1)
a)Chứng minh $(x_{n})$ hội tụ
b)Tìm giới hạn của $(x_{n})$
#2
Đã gửi 21-04-2013 - 20:46
Idie9xx
-
- Thành viên
-
- 319 Bài viết
Sĩ quan
Gọi $x_{n}$ là nghiệm của phương trình $\frac{1}{x}+\frac{1}{x-1}+...+\frac{1}{x-n}$= 0 trên (0;1)
a)Chứng minh $(x_{n})$ hội tụ
b)Tìm giới hạn của $(x_{n})$
Cho $f_n(x)=\sum_{k=0}^{n} \dfrac{1}{x-k}$
a. Theo đề ta có $0<x_n<1$ nên $(x_n)$ bị chặn.
Ta có $f_{n+1}(x_n)=f_n(x_n)+\dfrac{1}{x_n-n-1}=\dfrac{1}{x_n-n-1}<0$
Và $f_{n+1}(0^+)=n-\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k}>0$
Nên trong khoảng $(0;x_n)$ thì $f_{n+1}(x)$ có nghiệm là $x_{n+1}$ chứng minh được $x_{n+1}<x_n$ dãy giảm.
Vậy dãy $(x_n)$ hội tụ 
b. Cho $\lim_{n \rightarrow +\infty} x_n=L$
Ta sẽ chứng minh $L=0$
Giả sử $L>0$ thì tồn tại $n$ đủ lớn để $\dfrac{1}{L}<\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k}$
Ta có $0=f_n(x_n)=\sum_{k=0}^{n} \dfrac{1}{x_n-k}<\dfrac{1}{x_n}+\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{-k}<\dfrac{1}{L}-\dfrac{1}{L}=0$
Vậy $\lim_{n \rightarrow +\infty} x_n=0$ 
- perfectstrong và phanquockhanh thích
$\large \circ \ast R_f\cdot Q_r\cdot 1080\ast \circ$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
