Chủ đề này có 3 trả lời

[huou202]

Cho $a,b,c >0$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$. Chứng minh

$\frac{1}{1-ab}+\frac{1}{1-bc}+\frac{1}{1-ca}\leq \frac{9}{2}$.

[trauvang97]

Cho $a,b,c >0$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$. Chứng minh

$\frac{1}{1-ab}+\frac{1}{1-bc}+\frac{1}{1-ca}\leq \frac{9}{2}$.

Dùng bất đẳng thức AM-GM ta có:

$\frac{1}{1-ab}=1+\frac{ab}{1-ab}\leq 1+\frac{ab}{1-\frac{a^{2}+b^{2}}{2}}=1+\frac{2ab}{a^{2}+b^{2}+2c^{2}}=1+\frac{2ab}{\left ( a^{2}+c^{2} \right )+\left ( b^{2}+c^{2} \right )}\leq 1+\frac{ab}{\sqrt{\left ( a^{2}+c^{2} \right )\left ( b^{2}+c^{2} \right )}}\leq 1+\frac{1}{2}\left ( \frac{a^{2}}{a^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}}{b^{2}+c^{2}} \right )$

Tương tự ta có:

$\frac{1}{1-bc}\leq 1+\frac{1}{2}\left ( \frac{b^{2}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}+c^{2}} \right )$

$\frac{1}{1-ca}\leq 1+\frac{1}{2}\left ( \frac{c^{2}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}} \right )$.

Cộng vế với vế ba bất đẳng thức trên ta có:

$\frac{1}{1-ab}+\frac{1}{1-bc}+\frac{1}{1-ca}\leq 3+\frac{1}{2}.3=\frac{9}{2}$

Dấu bằng đạt khi và chỉ khi: $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trauvang97: 09-04-2013 - 21:00

[nguyencuong123]

Cách 2:$\sum \frac{1}{ab-1}\geq \frac{9}{\sum ab-3}\geq \frac{9}{1-2}=\frac{-9}{2}\Rightarrow \sum \frac{1}{1-ab}\leq \frac{9}{2}$

[25 minutes]

Cách 2:$\sum \frac{1}{ab-1}\geq \frac{9}{\sum ab-3}\geq \frac{9}{1-2}=\frac{-9}{2}\Rightarrow \sum \frac{1}{1-ab}\leq \frac{9}{2}$

Điều kiện để áp dụng $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geqslant \frac{9}{a+b+c}$ là $a,b,c>0$

Ở đây dễ dàng thấy $a^2+b^2+c^2=1\Rightarrow ab,bc,ca<\frac{1}{2}<1$