Chủ đề này có 1 trả lời

[Nguyen Duc Thuan]

Cho a,b,c>0; $a+b+c=3$ . CMR:

$\frac{a+b}{bc+2}+\frac{b+c}{ca+2}+\frac{c+a}{ab+2}\geq 2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Duc Thuan: 12-04-2013 - 20:03

[25 minutes]

Cho a,b,c>0; $a+b+c=3$ . CMR:

$\frac{a+b}{bc+2}+\frac{b+c}{ca+2}+\frac{c+a}{ab+2}\geq 2$

Ta có : $\sum \frac{a+b}{bc+2}= \sum \frac{(a+b)^2}{bc(a+b)+2(a+b)}$

Áp dụng bất đẳng thức B.C.S ta có 

      $\sum \frac{(a+b)^2}{bc(a+b)+2(a+b)} \geq \frac{4(a+b+c)^2}{\sum bc(a+b)+4(a+b+c)}=\frac{36}{\sum bc(a+b)+12}$

Do đó ta chỉ cần chứng minh $\sum bc(a+b) \leq 6$

                                      $\Leftrightarrow a^2b+b^2c+c^2a+3abc \leq 6$        (*)

Ta sẽ chứng minh $a^2b+b^2c+c^2a+abc \leq \frac{4(a+b+c)^3}{27}=4$

Thật vậy ta có : Giả sử $b$ là số nằm giữa trong 2 số $a,c$

                                  $\Rightarrow (a-b)(b-c) \geq 0\Leftrightarrow ab+bc \geq b^2+ac$

                                  $\Leftrightarrow abc+bc^2 \geq ac^2+b^2c$

                                  $\Leftrightarrow a^2b+2abc+bc^2 \geq ac^2+b^2c+a^2b+abc$

Do đó ta chỉ cần chứng minh $\frac{4(a+b+c)^3}{27} \geq a^2b+2abc+bc^2 $

                                      $\Leftrightarrow b(a+c)^2 \leq \frac{4(a+b+c)^3}{27}$

Nhưng bđt trên luôn đúng theo AM-GM 

                                      $b(a+c)^2=\frac{2b(a+c)(a+c)}{2} \leq \frac{(2b+a+c+a+c)^3}{54}=\frac{4(a+b+c)^3}{27}$

Ta có đpcm

Do đó $a^2b+b^2c+c^2a+abc \leq 4$                                      (1)

Áp dụng AM-GM ta có $2abc \leq 2\frac{(a+b+c)^3}{27}=2$  (2)

Từ (1),(2) và (*) ta có ngya đpcm

Dấu = xảy ra khi $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Hoang Anh Arsenal: 12-04-2013 - 20:34