Chủ đề này có 2 trả lời

[tieutuhamchoi98]

Cho a,b,c là các số không âm và a+b+c=4

CMR:

$4\leq \sqrt{a+b}+\sqrt{c+b}+\sqrt{a+c}$

 

[Oral1020]

Lời giải.

Ta có:

$\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{a+c} \ge 4$

$\Longleftrightarrow a+b+b+c+a+c+2(\sqrt{(a+b)(b+c)}+\sqrt{(a+b)(a+c)}+\sqrt{(b+c)(a+c)}) \ge 16$

$\Longleftrightarrow \sqrt{(a+b)(b+c)}+\sqrt{(b+c)(a+c)}+\sqrt{(a+c)(a+b)} \ge 4$

Ta lại có:

$\sqrt{(a+b)(a+c)} \ge a$

$\Longleftrightarrow (a+b)(a+c) \ge a^2$

$\Longleftrightarrow ab+bc+ac \ge 0$ (Đúng)

Dấu $=$ xảy ra khi có hai trong ba số cùng bằng $0$.

Tương tự,ta có:
$\sqrt{(a+b)(b+c)} \ge b$ và $\sqrt{(b+c)(c+a)} \ge c$

Như vậy,ta có:

$\sqrt{a+c}+\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c} \ge a+b+c=4$

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=0;c=4$ và các hoán vị.

 

[PTKBLYT9C1213]

Cho a,b,c là các số không âm và a+b+c=4

CMR:

$4\leq \sqrt{a+b}+\sqrt{c+b}+\sqrt{a+c}$

Bình phương hai vế ta có: $\sum 2\sqrt{(a+b)(b+c)}\geq 8=\sum (a+b)$ (*)

TH1: Trong 3 số có 2 số =0 và một số =4 (đúng)

TH2: Không có nhiều hơn một số =0

Ta có : $\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}$\geq$\sqrt{a+c}$ ( bình phương lên $\rightarrow$ đúng)

Chứng minh tương tự $\rightarrow$ (*) đúng 

Dấu "=" khi a=b=c=0 (vô lý)

Từ 2 trường hợp $\rightarrow$ đpcm